设z=(x,y)是方程F(y/x,z/x)=0所确定的隐函数,其中函数F(u,v)可微分,证明
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/04 17:55:23
设z=(x,y)是方程F(y/x,z/x)=0所确定的隐函数,其中函数F(u,v)可微分,证明
x(δz/δx)+y(δz/δy)=z
x(δz/δx)+y(δz/δy)=z
令 y/x = ε,z/x = η.
F(y/x,z/x) = F(ε,η) = 0,
记Fx,Fy,Fz分别表示对x,y,z求偏导;Fε,Fη分别表示对ε,η求偏导
Fx = Fε * d(y/x)/dx + Fη * d(z/x)/dx= -y / x^2 * Fε - z / x^2 * Fη,(1)
Fy = Fε * d(y/x)/dy + Fη * d(z/x)/dy= 1 / x * Fε,(2)
Fz = Fε * d(y/x)/dz + Fη * d(z/x)/dz= 1 / x * Fη,(3)
由隐函数定理:
δz/δx = -Fx / Fz,δz/δy = -Fy / Fz 代入
x(δz/δx)+y(δz/δy) = z 等价于要证:-x * Fx - y * Fy = z * Fz,利用(1),(2),(3)式有:
-x * Fx - y * Fy = -x * (-y / x^2 * Fε - z / x^2 * Fη) - y * 1 / x * Fε
= y/x * Fε + z/x * Fη - y/x * Fε = z/x * Fη = z * Fz.
得证!
F(y/x,z/x) = F(ε,η) = 0,
记Fx,Fy,Fz分别表示对x,y,z求偏导;Fε,Fη分别表示对ε,η求偏导
Fx = Fε * d(y/x)/dx + Fη * d(z/x)/dx= -y / x^2 * Fε - z / x^2 * Fη,(1)
Fy = Fε * d(y/x)/dy + Fη * d(z/x)/dy= 1 / x * Fε,(2)
Fz = Fε * d(y/x)/dz + Fη * d(z/x)/dz= 1 / x * Fη,(3)
由隐函数定理:
δz/δx = -Fx / Fz,δz/δy = -Fy / Fz 代入
x(δz/δx)+y(δz/δy) = z 等价于要证:-x * Fx - y * Fy = z * Fz,利用(1),(2),(3)式有:
-x * Fx - y * Fy = -x * (-y / x^2 * Fε - z / x^2 * Fη) - y * 1 / x * Fε
= y/x * Fε + z/x * Fη - y/x * Fε = z/x * Fη = z * Fz.
得证!
设z=(x,y)是方程F(y/x,z/x)=0所确定的隐函数,其中函数F(u,v)可微分,证明
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设z(x,y)是方程F(x-y,y-z,z-x)=0所确定,其中F为可微函数,则δz/δx+δz/δy=?
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微积分隐函数问题设z=z(x,y)是由方程F(x-z,y-z)=0所确定的隐函数,其中F有一阶连续偏导数,且F'1+F'
设z=(x,y)由方程z=f(x,y,z)所确定,其中f为可微的三元函数,求dz
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