证明：当n趋于无穷大时,lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）存在,并求出极限值．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 09:38:18

函数f(x)=1/(1+x).
用分点将区间[0,1]平均分成n份,分点是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定积分的定义,和式
∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}
当n->∞时的极限等于定积分
∫{f(x)dx,[0,1]}
而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k),通项相等,也就是说你的式子等于上面的和式.
于是
lim[1/(n+1) +1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]
=∫{f(x)dx,[0,1]}
=∫{1/(1+x)dx,[0,1]}
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2
再问：谢谢！若是证明：当n趋于无穷大时lim［1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／（n＋n）］，你的做法完全对，但现在和式共有2n＋1项啊！还能用定积分定义吗？
再答：设f(n) = 1／n+1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/3n 则f(n+1) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/3(n+1) 则f(n+2) = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/[3(n+1)+1] = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(3n+4) 则f(n+1)-f(n+2) = 1/(n+1) - [1/(3n+2) + 1/(3n+3) + 1/(3n+4)] = 1/(n+1) - [1/(3n+3)+(3n+2+3n+4)/((3n+2)(3n+4))] = 1/(n+1) - [1/(3n+3) + (6n+6)/((3n+2)(3n+4))] 因为(3n+2)(3n+4)=9n^2+18n+81 /【(3n+3)(3n+3)】……应用到下式；则f(n+1)-f(n+2)< 1/(n+1) - [1/(3n+3) + (6n+6)/((3n+3)(3n+3))] 则f(n+1)-f(n+2)< 1/(n+1) - [1/(3n+3) + 2/(3n+3)] 则f(n+1)-f(n+2)< 1/(n+1) - 3/(3n+3)=0 则f(n+1)-f(n+2)< 0 所以f(n+1)-f(n+2)11/6，对所有自然数n成立；综上所得：f(n)的最小值为11/6。希望帮助到你，若有疑问，可以追问~~~ 祝你学习进步，更上一层楼！(*^__^*)

证明：当n趋于无穷大时,lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）存在,并求出极限值． lim[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+、、、1/(n+n)]当n趋于无穷大时的极限? lim 9^n+4^n+2/5^n-3^2n-1 n趋于无穷大时请老师回答问题,lim（n趋于无穷大）(1^n+2^n+3^n)1/n次方=?lim(x趋于无穷大）sin2x/x=? 用数列极限的定义证明：lim根号（n平方＋1）／n=1 n趋向无穷大 lim n趋于无穷大(1/n^2+3/n^2+.+2n-1/n^2 证明 lim （n趋于无穷大）a^1/n=1 （1>a>0） a＞0,b＞0,求当n趋于无穷大时（a＾1／n＋b＾1／n）＾n／2＾n的极限求lim(根号下n+1)-(根号下n）,n趋于无穷大的极限 lim 当n趋于无穷大时 n^n/1 等于多少高数求极限n趋于无穷大时,lim (1/n - sin(1/n))/ (1/n^2),lim (1/n - sin(1/ lim[(n+3)/(n+1))]^(n-2) 【n无穷大】