作业帮关于第一个重要极限的证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 18:01:09
关于第一个重要极限的证明
x趋近于0时,sinx/x的极限为1
关于这个极限的证明如下,不知是否正确?
0 < sinx < x < tanx = sinx/cosx
1 < x/sinx < 1/cosx
cosx
x趋近于0时,sinx/x的极限为1
关于这个极限的证明如下,不知是否正确?
0 < sinx < x < tanx = sinx/cosx
1 < x/sinx < 1/cosx
cosx
我刚刚回答过这个问题,不知道是不是你提问的.
因为sinx/x这是个偶函数,所以小于零时这个极限也成立.
再问： 那就是说这个证明是不全面的，能不能帮忙给证明一下，谢谢
再答： 1.右极限=1（理由就是你上边的证明）
2.因为是偶函数，所以左极限也=1.
综上，极限=1,证毕.
再问： 上述证明有没有问题，从第一行到第二行，不等号前后全部除以sinx，但是x大于零时，sinx是可能小于零的，所以是不是要分情况讨论呢？当sinx小于零时，是不是要变号？
再答： 这里直接根据图形的对称性（偶函数关于y轴对称）可以直接得结果。当然如果你一定要计算的话，可以这样，当x<0时，即
这样就出来了，不必再麻烦重复验算不等式。如果你要用不等式的话，要注意当x<0时，不等式是0>sinx>x,注意不等号的方向哈。
哦，那个，上述证明正确无误。可以在前面限定x∈(0,π/2)，因为我们这个趋于0的极限，只讨论0的一个邻域而已，邻域的话，不必超过π/2！在一个小的邻域内即可。唔，应该说清楚了吧。
再答： 晕了，电脑上更新了回答，手机在看不到……不知道你看得到不…
再问： 最后一句很关键，有了这个定义域的限定就很好解决了，但是如果没有，x就是不为零的实数，应该也是成立的吧？
再答： 该极限永远是成立的。证明过程中应当限定范围。
再答： 所谓极限，就是要无线趋近，证明的时候取邻域要考虑方便我们的运算。
再答： 哎，你没懂极限的意思么？这是x趋于0啊，又不是趋于无穷大。x是在向0靠近的，既然靠近0，我取一个0周围的小范围总可以吧，又不是要在整个R上讨论。
还是不懂的话，建议你先看一下极限的ε-δ定义。
同学，我表示严重受打击了。内伤，卧床调养中…………你采纳吧，看我这么辛苦……要不我真的起不来了……
因为sinx/x这是个偶函数,所以小于零时这个极限也成立.
再问： 那就是说这个证明是不全面的，能不能帮忙给证明一下，谢谢
再答： 1.右极限=1（理由就是你上边的证明）
2.因为是偶函数，所以左极限也=1.
综上，极限=1,证毕.
再问： 上述证明有没有问题，从第一行到第二行，不等号前后全部除以sinx，但是x大于零时，sinx是可能小于零的，所以是不是要分情况讨论呢？当sinx小于零时，是不是要变号？
再答： 这里直接根据图形的对称性（偶函数关于y轴对称）可以直接得结果。当然如果你一定要计算的话，可以这样，当x<0时，即
这样就出来了，不必再麻烦重复验算不等式。如果你要用不等式的话，要注意当x<0时，不等式是0>sinx>x,注意不等号的方向哈。哦，那个，上述证明正确无误。可以在前面限定x∈(0,π/2)，因为我们这个趋于0的极限，只讨论0的一个邻域而已，邻域的话，不必超过π/2！在一个小的邻域内即可。唔，应该说清楚了吧。
再答： 晕了，电脑上更新了回答，手机在看不到……不知道你看得到不…
再问： 最后一句很关键，有了这个定义域的限定就很好解决了，但是如果没有，x就是不为零的实数，应该也是成立的吧？
再答： 该极限永远是成立的。证明过程中应当限定范围。
再答： 所谓极限，就是要无线趋近，证明的时候取邻域要考虑方便我们的运算。
再答： 哎，你没懂极限的意思么？这是x趋于0啊，又不是趋于无穷大。x是在向0靠近的，既然靠近0，我取一个0周围的小范围总可以吧，又不是要在整个R上讨论。
还是不懂的话，建议你先看一下极限的ε-δ定义。
同学，我表示严重受打击了。内伤，卧床调养中…………你采纳吧，看我这么辛苦……要不我真的起不来了……