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正四棱柱S-ABCD的侧棱长与底面边长相等,E是SB中点,则AE,SD所成角的余弦值

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 15:04:46
正四棱柱S-ABCD的侧棱长与底面边长相等,E是SB中点,则AE,SD所成角的余弦值
设底面边长及侧棱长为a .
底面正方形的对角线AC,BD相交于F,连接EF.由中位线定理知EF//AD,且等于AD的一半,即
EF=a/2.由此,AE,EF 所成角即等于AE,SD所成角,
又AE为正三角形SAB的中线,而SAB这正三角形.故AE=(根号3)a/2
AF为正方形的对角线之半,即AF=(根号2)a/2.
在三角形AEF中用余弦定理:
cos(AE,SD所成角)=cos(角AEF)=[AE^2+EF^2-AF^2]/[2*AE*EF]
=[3/4+1/4-2/4]/[2*(根号3)/2 *1/2] =1/根号3 = (根号3)/3
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