设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx→0f(x)x=0,证明级数∞n=1f(1n)绝对收敛
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/16 15:49:16
设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx→0f(x)x=0,证明级数∞n=1f(1n)绝对收敛
设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且
设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且
lim |
x→0 |
∵f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,即f(x),f'(x),f''(x)在x=0的某一邻域均连续
且:
lim
x→0
f(x)
x=0
∴f(x)=f(0)=0
lim
x→0
f(x)?f(0)
x=0
∴f’(0)=0
∴
lim
x→0
f(x)
x2=
lim
x→0
f’(x)
2x=
lim
x→0
f’(x)?f’(0)
2x=
1
2f’’(0)
∴
lim
n→∞|
f(
1
n)
(
1
n)2|是一常数
∴由比值判别法可知原级数绝对收敛
且:
lim
x→0
f(x)
x=0
∴f(x)=f(0)=0
lim
x→0
f(x)?f(0)
x=0
∴f’(0)=0
∴
lim
x→0
f(x)
x2=
lim
x→0
f’(x)
2x=
lim
x→0
f’(x)?f’(0)
2x=
1
2f’’(0)
∴
lim
n→∞|
f(
1
n)
(
1
n)2|是一常数
∴由比值判别法可知原级数绝对收敛
设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx→0f(x)x=0,证明级数∞n=1f(1n)绝对收敛
级数收敛证明设f(x)在x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,x->0时,f(x)/x->0,证明级数∑f(1/n)绝对收
设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx→0
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