A是n阶非零矩阵,已知A^2+A=0能否推出-1是A的一个特征值?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 16:03:51

A是n阶非零矩阵,已知A^2+A=0能否推出-1是A的一个特征值?
能.
A^2+A=0
所以f(x)=x^2+x是矩阵A的一个“化零多项式”,
A的特征值只能是化零多项式f(x)的根,即0或-1,
又因为A是非零阵,所以特征值不可能时全零,
因此必有特征值-1
A是非零阵,所以特征值不可能时全零?比如A=【0 0 1；0 0 0；0 0 0】

哈, 这次一分没有!
你说的没错, 证明有问题.
这样证:
因为 A^2+A=0
所以 (A+E)A = 0
故 A 的列向量都是 (A+E)X=0 的解向量
又因为A非零
所以 (A+E)X=0 有非零解.
所以 |A+E| = 0
所以 -1 是 A 的一个特征值.

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