证明6能整除(6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 11:26:21
证明6能整除(6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数
证明:
n=1时,(6^n-3^n-2^n)-1=0能被6整除;
假设n=2k-1时,(6^n-3^n-2^n)-1=0能被6整除(k=1,2,...)
即存在整数p,使得6p=[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1
那么n=2(k+1)-1=2k+1时,
(6^n-3^n-2^n)-1=6^(2k+1)-3^(2k+1)-2^(2k+1)-1
=36*6^(2k-1)-9*3^(2k-1)-4*2^(2k-1)-1
=4*{[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1}+12*6^(2k-1)-5*3^(2k-1)+3
前两项4*{[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1}和12*6^(2k-1)显然能被6整除.
-5*3^(2k-1)+3能被3整除,
因为-5*3^(2k-1)和3都是奇数,所以-5*3^(2k-1)+3是偶数,能被6整除.
因此6^(2k+1)-3^(2k+1)-2^(2k+1)-1能被6整除.
由数学归纳法知,6能整除(6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数.
n=1时,(6^n-3^n-2^n)-1=0能被6整除;
假设n=2k-1时,(6^n-3^n-2^n)-1=0能被6整除(k=1,2,...)
即存在整数p,使得6p=[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1
那么n=2(k+1)-1=2k+1时,
(6^n-3^n-2^n)-1=6^(2k+1)-3^(2k+1)-2^(2k+1)-1
=36*6^(2k-1)-9*3^(2k-1)-4*2^(2k-1)-1
=4*{[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1}+12*6^(2k-1)-5*3^(2k-1)+3
前两项4*{[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1}和12*6^(2k-1)显然能被6整除.
-5*3^(2k-1)+3能被3整除,
因为-5*3^(2k-1)和3都是奇数,所以-5*3^(2k-1)+3是偶数,能被6整除.
因此6^(2k+1)-3^(2k+1)-2^(2k+1)-1能被6整除.
由数学归纳法知,6能整除(6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数.
证明6能整除(6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数
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n是整数,试证明n³-3n²+2n能被6整除
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用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除,其中n∈N*.
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