设f(x)=ax^2+bx+c (a≠0),若|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,试证明,对任意-1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/04 16:31:10
设f(x)=ax^2+bx+c (a≠0),若|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,试证明,对任意-1
∵f(0)=c
f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
∴a=[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
把它们代入到函数表达式里,再化简,得
|f(x)|=|[(x^2+x)f(1)]/2+[(x^2-x)f(-1)]/2+
(1-x^2)f(0)|≤|(x^2+x)/2||f(1)|+
|(x^2-x)/2||f(-1)|+|1-x^2||f(0)|≤
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+|1-x^2|=
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2
当x≤0时,|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2-x+1≤5/4
当x>0时,|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2+x+1≤5/4.
综上所述,|f(x)|≤5/4.
f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
∴a=[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
把它们代入到函数表达式里,再化简,得
|f(x)|=|[(x^2+x)f(1)]/2+[(x^2-x)f(-1)]/2+
(1-x^2)f(0)|≤|(x^2+x)/2||f(1)|+
|(x^2-x)/2||f(-1)|+|1-x^2||f(0)|≤
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+|1-x^2|=
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2
当x≤0时,|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2-x+1≤5/4
当x>0时,|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2+x+1≤5/4.
综上所述,|f(x)|≤5/4.
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