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已知△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD⊥AD,垂足为D,连CD.求证:

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 11:12:07
已知△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD⊥AD,垂足为D,连CD.求证:
(1)∠CDA=45°;
(2)AD-BD=
2
(1)证明:如图所示,∵BD⊥AD,
∴∠ADB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴A、B、C、D四点共圆,
∴∠CDA=∠ABC,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠CDA=∠ABC=45°;
(2)在AD上取点E,使AE=BD,则DE=AD-BD,
∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠1=∠2,
在△ACE和△BCD中,


AE=BD
∠1=∠2
AC=BC,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠3=∠4,
∵∠ACB=∠3+∠BCE=90°,
∴∠4+∠BCE=∠ECD=90°,
由(1)知,∠CDA=45°,
∴CD=CE,
则Rt△DCE中,
∵CD2+CE2=DE2
∴DE=
2CD,
∴AD-BD=
2CD.