高二推理与证明问题3道

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 20:41:28

高二推理与证明问题3道
1.如果函数f(x)的定义域为R,对于m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-6,且f(-1)是不大于5的正整数,当x＞-1时,f(x)＞0.那么具有这种性质的函数f(x)=?
2.求证：a,b≠0,min{a,b／（4a∧2＋b∧2}≤1/2
3.若数列{An}为等差数列,且Am=a,An=b(m≠n,m,n∈N*),则Am+n=(bn-am)/(n-m),现已知数列{Bn}(Bn>0,n∈N*)为等比数列,且Bn=a,Bn=b(m≠n,m,n∈N*),类比以上结论,可得到什么命题?

∵f(m+n)=f(m)+f(n)-6
∴f(0+0)=f(0)+f(0)-6=2f(0)-6
f(0)=6
∴f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)-6=6
∴f(x)+f(-x)=12
又f(-1)是不大于5的正整数,故f(-1)=1或2或3或4或5
对应的,f(1)=11或10或9或8或7
令g(x)=f(x)-6,则g(-x)=f(-x)-6
g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-12=0
g(x)=-g(-x),g(x)为奇函数,且g(0)=f(0)-6=0
g(-1)=-5或-4或-3或-2或-1
g(1)=5或4或3或2或1
故g(x)=5x或4x或3x或2x或x
f(x)=5x+6或4x+6或3x+6或2x+6或x+6
2.证明：
反证法
假设min{a,b／(4a^2＋b^2)}>1/2
不妨设min{a,b／(4a^2＋b^2)}=a,则
b／(4a^2＋b^2)≥a>1/2
∴a*[b/(4a^2+b^2)]>(1/2)(1/2)=1/4 ...(1)
又∵4a^2+b^2≥4ab
∴a*[b/(4a^2+b^2)]≤ab/4ab=1/4 ...(2)
(1)(2)矛盾,假设不成立
∴min{a,b／(4a^2＋b^2)}≤1/2
证毕
Bm=a,Bn=b
∵数列{Bn}(Bn>0,n∈N*)为等比数列,令公比为q
则Bm/Bn=a/b=q^(m-n)
∴B(m+n)=Bm*q^n
=a*(a/b)^[n/(m-n)]
=[a^m/b^n]^[1/(m-n)]

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