作业帮 > 综合 > 作业

设总体X~N(0,σ^2),X1、X2为X的样本,求证(X1+X2)^2/(X1-X2)^2服从分布F(1,1)

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/12 08:59:58
设总体X~N(0,σ^2),X1、X2为X的样本,求证(X1+X2)^2/(X1-X2)^2服从分布F(1,1)
N(0,σ^2)
E(X1+X2)=EX1+EX2=0
D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2
X1+X2~N(0,2σ^2)
同理:X1-X2~N(0,2σ^2)
所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)
1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)
所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1) X^2(n)代表自由度为n的卡方分布
同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)
令A=1/2σ^2(X1+X2)^2 B=1/2σ^2(X1-X2)^2
所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2
=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2
=A/B
=(A/1)/(B/1)
而这就是F(1,1)分布的定义
所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)