点P是圆O直径AB上的任一点,过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45度,求证；PC^2+PD^2有定值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/31 07:10:17

证：作OE⊥CD于E,连接OC
设⊙O半径为R,PA＞PB,OP=a
所以 PA=R+a,PB=R-a
∵⊙O中,弦AB,CD交于点P
∴PA•PB=PC•PD（相交弦定理）
∴PC•PD=(R+a)(R-a)=R²-a²
∵Rt△OPE中,∠OPE=45°
∴sin∠OPE=OE/OP=(√2)/2
∴OE=【(√2)/2】a
∵⊙O中,OE⊥CD于E
∴CE=½CD（垂径定理）
∴CD²=4CE²
∵Rt△OCE中,∠OEC=90°
∴CE²=OC²-OE²=R²-½a²
∴CD²=4R²-2a²
∴PC²+PD²
=(PC+PD)²-2•PC•PD
=CD²-2PC•PD
=4R²-2a²-2(R²-a²)
=2R²
为定值,原命题得证
【图在上传中,请稍等】

点P是圆O直径AB上的任一点,过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45度,求证；PC^2+PD^2有定值在圆o中,CD是平行于直线AB的弦,点P是直径AB上任意一点,求证：PC^2+PD^2=PA^2+PB^2 如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB,CD交于点P,且角APC=45度,若圆O的直径为2R,求证PC² AB是圆O的直径,点P是AB延长线上的一点,PC切圆O于点C,在射线PA上截取PD=PC,连接CD并延长交与圆O于点E 如图,AB是圆O的直径弦CD垂直AB于点E,点P在圆O上,∠1=∠C （1）求证CB平行PD （2）若BC=2sinP= 圆O直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为圆O上一点,AE弧=AC弧,DE交AB于点F,求证：PF乘PO=PD AB为圆O直径,弦DA,BA的延长线相交于点P,且BC=PC,求证AB=AP 弧BC=弧CD 如图AB是圆O的直径,点P是延长线上一点,PD切圆O于点C,BC和AD的延长线相交于点E,且AD⊥PD.（1）求证：AB 半径为2倍根号5的圆O内有互相垂直的两条弦AB和CD 相交于点P ,（1）求证；PA乘以PB等于PC乘以PD 已知：AB、CD是圆O中两条互相垂直的直径.点P是AD弧上一点,连AP、PD、PC,当点P运动时,PA-PD/AP的值是如图,⊙O的弦AB,CD的延长线交于点P,求证PB*PA=PD*PC. 如图,AB是圆O的直径,P为AB延长线上一点,PD切圆O于点C,BC和AD的延长线相交于点E,且AE⊥PD.（1）求证：