∫∫(X+Y)³dxdy,积分区域D是由X=√(1+y²)与X+√2*y=0和X-√2*y=0围成
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 05:58:05
∫∫(X+Y)³dxdy,积分区域D是由X=√(1+y²)与X+√2*y=0和X-√2*y=0围成
积分区域关于X轴是对称的.应该要用被积函数部分有关y的奇偶性来解,可是我在花间的时候老是没化简到答案,
积分区域关于X轴是对称的.应该要用被积函数部分有关y的奇偶性来解,可是我在花间的时候老是没化简到答案,
虽然积分区域是关于x轴对称的.但是被积函数(x + y)³却不是对称的.所以不能用对称性解吧~~
假设有两个四面体,虽然它们的底都是同样的三角形,但是它们的高不一样,所以体积也未必一样.
所以∫∫_(D) (x + y)³ dxdy
= ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy + ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy
= A + B
A = ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy = ∫(- 1→0) C dy
C = ∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dx = (1/4){[√(1 + y²) + y]⁴ - (y - √2y)⁴}
A = ∫(- 1→0) (1/4){[√(1 + y²) + y]⁴ - (- √2y + y)⁴} dy = 8/15 - √2/3
B = ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy = ∫(0→1) D dy
D = ∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dx = (1/4){[y + √(1 + y²)]⁴ - (√2y + y)⁴}
B = ∫(0→1) (1/4){[y + √(1 + y²)]⁴ - (√2y + y)⁴} dy = 2/5 + √2/3
所以A + B = (8/15 - 2√3) + (2/5 + √2/3) = (8 + 6)/15 = 14/15
从上面可见A ≠ B的,看你还能怎么个对称法- -.
C和D的解法长得很.只写下答案算了.
用极坐标也可以.
令{x = rcosθ、{y = rsinθ
则x = √(1 + y²) → rcosθ = √(1 + r²sin²θ)
→ r²cos²θ = 1 + r²sin²θ
→ r²cos²θ - r²sin²θ = 1
→ r²cos2θ = 1
→ r = √(sec2θ)
x = - √2y → y = (- 1/√2)x → 夹角tanθ = - 1/√2、θ在第四象限、sinθ = - 1/√3、cosθ = √2/√3
x = √2y → y = (1/√2)x → 夹角tanθ = 1/√2、θ在第一象限、sinθ = 1/√3、cosθ = √2/√3
(x + y)³ = (rcosθ + rsinθ)³ = r³(cosθ + sinθ)³ = r³[√2sin(θ + π/4)]³ = 2√2r³sin³(θ + π/4)
所以∫∫_(D) (x + y)³ dxdy
= ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy + ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy
= ∫(- arctan(- 1/√2)→0)∫(0→√(sec2θ)) 2√2r³sin³(θ + π/4) rdrdθ
+ ∫(0→arctan(1/√2))∫(0→√(sec2θ) 2√2r³sin³(θ + π/4) rdrdθ
这个算式也算难解了,解得头痛,你有兴趣就试试吧~~
假设有两个四面体,虽然它们的底都是同样的三角形,但是它们的高不一样,所以体积也未必一样.
所以∫∫_(D) (x + y)³ dxdy
= ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy + ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy
= A + B
A = ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy = ∫(- 1→0) C dy
C = ∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dx = (1/4){[√(1 + y²) + y]⁴ - (y - √2y)⁴}
A = ∫(- 1→0) (1/4){[√(1 + y²) + y]⁴ - (- √2y + y)⁴} dy = 8/15 - √2/3
B = ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy = ∫(0→1) D dy
D = ∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dx = (1/4){[y + √(1 + y²)]⁴ - (√2y + y)⁴}
B = ∫(0→1) (1/4){[y + √(1 + y²)]⁴ - (√2y + y)⁴} dy = 2/5 + √2/3
所以A + B = (8/15 - 2√3) + (2/5 + √2/3) = (8 + 6)/15 = 14/15
从上面可见A ≠ B的,看你还能怎么个对称法- -.
C和D的解法长得很.只写下答案算了.
用极坐标也可以.
令{x = rcosθ、{y = rsinθ
则x = √(1 + y²) → rcosθ = √(1 + r²sin²θ)
→ r²cos²θ = 1 + r²sin²θ
→ r²cos²θ - r²sin²θ = 1
→ r²cos2θ = 1
→ r = √(sec2θ)
x = - √2y → y = (- 1/√2)x → 夹角tanθ = - 1/√2、θ在第四象限、sinθ = - 1/√3、cosθ = √2/√3
x = √2y → y = (1/√2)x → 夹角tanθ = 1/√2、θ在第一象限、sinθ = 1/√3、cosθ = √2/√3
(x + y)³ = (rcosθ + rsinθ)³ = r³(cosθ + sinθ)³ = r³[√2sin(θ + π/4)]³ = 2√2r³sin³(θ + π/4)
所以∫∫_(D) (x + y)³ dxdy
= ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy + ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy
= ∫(- arctan(- 1/√2)→0)∫(0→√(sec2θ)) 2√2r³sin³(θ + π/4) rdrdθ
+ ∫(0→arctan(1/√2))∫(0→√(sec2θ) 2√2r³sin³(θ + π/4) rdrdθ
这个算式也算难解了,解得头痛,你有兴趣就试试吧~~
∫∫(X+Y)³dxdy,积分区域D是由X=√(1+y²)与X+√2*y=0和X-√2*y=0围成
计算二次积分∫∫(x+2y)dxdy,其中D是由y=x^2及y=√x所围成的闭区域
求积分I= ∫ ∫根号(x^2 y^2)dxdy积分区域是D,其中D由x^2 y^2=1与x^2 y^2=x围成
求积分I= ∫ ∫根号(x^2+y^2)dxdy积分区域是D,其中D由x^2+y^2=1与x^2+y^2=x围成
计算二重积分∫∫√(Y平方减去XY)dxdy,D是由Y=X Y=1 X=0围成的平面区域
∫∫e^(y-x/y+x)dxdy,其中d是由x轴,y轴和直线x+y=2所围成的闭区域
求积分I= ∫ ∫根号(x^2+y^2)dxdy积分区域是D,其中D由y=x与y=x^4围成.用极坐标的方法.
求二重积分∫∫1 / √(1+x²+y²)dxdy,其中积分区域D={(x,y)|x²+y
计算积分∫∫ √y^2-xydxdy,其中D是由直线y=1,y=x,x=0围成的闭区域
计算二重积分∫∫ln(x^2+y^2)dxdy,其中积分区域D={(x,y)/1
设D是xoy平面上由直线y=1,2x-y+3=0与2x-y-3=0所围成的区域,求∫∫(2x-y)dxdy.
求二重积分∫∫xsin(y/x)dxdy,其中D是由y=x,x=1,y=0所围成的闭区域