作业帮关于stirling公式 今天2点前答出,奖50分
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 16:54:12
关于stirling公式 今天2点前答出,奖50分
计算
计算
令a(n)=n!/ [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]
则a(n) / a(n+1) = (n+1)^(n+3/2) / [ n^(n+1/2) * (n+1) * e ]
=(n+1)^(n+1/2) / [ n^(n+1/2) * e]
=(1+1/n)^n * (1+1/n)^1/2 *1/e
当n→∞时,(1+1/n)^n→e,(1+1/n)^1/2→1
即lim(n→∞) a(n)/a(n+1)=1
所以lim(n→∞)a(n) 存在
设A=lim(n→∞)a(n)
A=lim(n→∞)n!/ [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]
利用Wallis公式,π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!/ (2n-1)!]^2 / (2n+1)
π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!/ (2n-1)!]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞)[ (2n)!* (2n)!/ (2n)!]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ (n!)^2 / (2n)!]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ (A * n^(n+1/2) * e^(-n) )^2 / (A * (2n)^(2n+1/2) * e^(-2n) )]^2 / (2n+1) =lim(n→∞) 2^(4n) [ 2^(-2n-1/2) * A * √n ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) * A^2 * 2^(-4n-1) * n/(2n+1)
=A^2 / 4
所以A=√(2π)
lim(n→∞)n!/ [ n^(n+1/2) * e^(-n) ] = √(2π)
即lim(n→∞) √(2πn) * n^n * e^(-n) / n!= 1
则a(n) / a(n+1) = (n+1)^(n+3/2) / [ n^(n+1/2) * (n+1) * e ]
=(n+1)^(n+1/2) / [ n^(n+1/2) * e]
=(1+1/n)^n * (1+1/n)^1/2 *1/e
当n→∞时,(1+1/n)^n→e,(1+1/n)^1/2→1
即lim(n→∞) a(n)/a(n+1)=1
所以lim(n→∞)a(n) 存在
设A=lim(n→∞)a(n)
A=lim(n→∞)n!/ [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]
利用Wallis公式,π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!/ (2n-1)!]^2 / (2n+1)
π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!/ (2n-1)!]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞)[ (2n)!* (2n)!/ (2n)!]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ (n!)^2 / (2n)!]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ (A * n^(n+1/2) * e^(-n) )^2 / (A * (2n)^(2n+1/2) * e^(-2n) )]^2 / (2n+1) =lim(n→∞) 2^(4n) [ 2^(-2n-1/2) * A * √n ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) * A^2 * 2^(-4n-1) * n/(2n+1)
=A^2 / 4
所以A=√(2π)
lim(n→∞)n!/ [ n^(n+1/2) * e^(-n) ] = √(2π)
即lim(n→∞) √(2πn) * n^n * e^(-n) / n!= 1
关于stirling公式 今天2点前答出,奖50分
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