已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/08 19:02:44

已知椭圆C：

（1）因为椭圆C：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）的离心率为

6
3，
所以
c
a＝

6
3，
又由短轴一个端点到右焦点的距离为
3，
则a=
3．
所以c=
2，b²=a²-c²=3-2=1，
所以b²=a²-c²=1
所以椭圆C的标准方程是
x2
3+y2＝1；
（2）设这条弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k，
则

x12
3+y12＝1

x22
3+y22＝1，
两式相减再变形得
(x1+x2)(x1−x2)
3+(y1+y2)(y1−y2)＝0，
即
x1+x2
3+k(y1+y2)＝0，
又弦中点为M (
1
2，
1
2)，故k=-
1
3，
故这条弦所在的直线方程y-
1
2=-
1
3（x-
1
2），整理得2x+6y-4=0；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，∵坐标原点O到直线l的距离为

3
2，
∴可取A（

3
2，y₁），代入椭圆得
(

3
2)2
3+y12＝1，解得y1＝±

3
2．
∴|AB|=
3．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，
由坐标原点O到直线l的距离为

3
2可得
|m|

1+k2＝

3
2，即m2＝
3
4(k2+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2＝−
6km
3k2+1，x1x2＝
3m2+1
3k2+1．
∴|AB|2＝(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=(1+k2)[
36k2m2
(3k2+1)2−
12(m2−1)
3k2+1]
=
12(k2+1)(3k2+1−m2)
(3k2+1)2
=3+
12k2
9k4+6k2+1．
当k≠0时，
|AB|2＝3+
12
9k2+
1
k2+6≤3+
12
2×3+6，
当且仅当k2＝
1
3时取等号，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=
3．
综上可知：|AB|_max=2．△OAB的面积最大值为=
1
2×2×

3
2．