已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为2分之根号3,短轴一个端点到右焦点的距离是2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/03 13:28:54

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为2分之根号3,短轴一个端点到右焦点的距离是2
,（1）求该椭圆的标准方程
（2）若p是该椭圆上的一个动点,f1,f2分别是椭圆的左,右焦点,求向量PF1点乘向量PF2的最大值与最小值

（1）易知椭圆方程为x^2/4+y^2=1
（2）设Ф为向量PF1、PF2的夹角,则PF1·PF2=|PF1|*|PF2|cosФ
由椭圆的第一定义及余弦定理有：|PF1|*|PF2|=2b^2/(1+cosФ)=2/(1+cosФ)
所以PF1·PF2=2cosФ/(1+cosФ)
显然,当P在短轴顶点时Ф达到最大,计算易知Фmax=120°；当P在长轴顶点时Ф达到最小Фmax=0°；Ф变化范围为[0°,120°]
当Ф=90°时,PF1·PF2=0
当Ф≠90°时,PF1·PF2=2cosФ/(1+cosФ)=2/[(1/cosФ)+1],其中-1/2≤cosФ≤1（cosФ≠0）
所以(PF1·PF2)max=1,(PF1·PF2)min=-2
再问： PF1|*|PF2|=2b^2/(1+cosФ)是怎么来的，Фmax=120°是怎么得来的？
再答：第一个问题在三角形PF1F2中，由余弦定理有： |F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1|*|PF2|cosФ 显然焦距|F1F2|=2c 而|PF1|^2+|PF2|^2=(|PF1|+|PF2|)^2-2|PF1|*|PF2| 又由椭圆第一定义有|PF1|+|PF2|=2a 所以有(2c)^2=(2a)^2-2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosФ 注意到a^2-c^2=b^2 即有|PF1|*|PF2|=2b^2/(1+cosФ) 第二个问题设短轴一顶点为M，椭圆中心（原点）为O 在RT三角形F1OM中，|F1M|=a=2，|OM|=b=1，|OF1|=c=√3 显然这是一个内角为30°、60°的直角三角形（由三角函数定义也可知），其中Ф/2=∠OMF1=60°，所以Ф=120°