听说正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种是这样吗?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 14:46:13
听说正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种是这样吗?
回答一定要详细一些!
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设正多面体的每个面是正n边行,每个顶点是m条棱,于是,棱数E应是F(面数)与n的积的一半,即
Nf=2E -------------- 1式
同时,E应是V(顶点数)与M的积的一半,即
mV=2E -------------- 2式
由1式、2式,得
F=2E/n,V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2,
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数,所以1/E>0.因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式说明m,n不能同是大于3,否则3式不成立.另一方面,由于m和n的意义(正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数)知,m>=3且n>=3.因此m和n至少有一个等于3
当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5
同理n=3,m也只能是3,4,5
所以
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种
Nf=2E -------------- 1式
同时,E应是V(顶点数)与M的积的一半,即
mV=2E -------------- 2式
由1式、2式,得
F=2E/n,V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2,
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数,所以1/E>0.因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式说明m,n不能同是大于3,否则3式不成立.另一方面,由于m和n的意义(正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数)知,m>=3且n>=3.因此m和n至少有一个等于3
当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5
同理n=3,m也只能是3,4,5
所以
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种
听说正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种是这样吗?
数学:证明,空间中仅存在5种正多面体:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.
表面积等的正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体谁的体积最大
相同表面积的四面体,六面体,正十二面体以及正二十面体,其中体积最大的是?
正四面体,正方体,正八面体,正十二面体,正二十面体 的顶点数,面数,棱数
正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,有几个顶点,几条棱,几个面
制作正十二面体和正二十面体的详细方法
求正十二面体和正二十面体的相邻两个表面的二面角大小
以正十二面体和正二十面体各面的中心为顶点的多面体都是几面体?
正八面体.正十二面体.正二十面体的顶点数.棱数.和面数有几个
体积相同的四面体,六面体,十二面体,二十面体,表面积最大的是?
正四面体,正方体,正八面体,正十二面体的顶点数,面数,棱数之间有什么关系