作业帮求所有三阶非零矩阵,其平方为零
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 17:54:31
求所有三阶非零矩阵,其平方为零
A^2=0 => A 的 Jordan 块只能是 1 阶或 2 阶
所以这里 A 的 Jordan 型在不计次序的情况下只有一种结构 (注意 A 非零)
J =
0 1 0
0 0 0
0 0 0
所以 A 就是所有形如 PJP^{-1} 的矩阵,P 取遍 3 阶可逆阵
当然,这个问题规模比较小,还可以把上述乘法乘出来进一步化简,得到 A = xy^T,其中 x 和 y 取遍满足所有 y^Tx=0 的列向量
再问： 不用Jordan型能做吗 我们没教这个
再答： 如果没学过 Jordan 型，3 阶的还能做，但是高阶大概不好办 对 A 的秩进行分析，显然 A 的秩只能是 1 或者 2 如果 rank(A) = 2，那么把 A^2 = 0 视作方程 AX =0 有非零解 A，但是 A 的解空间是 1 维的，不可能有两个线性无关解，矛盾，由此推出 rank(A) = 1 既然 A 是秩 1 矩阵，那么可以写成 A = xy^T 的形式，其中列向量 x 和 y 都非零，再利用 A^2 = (y^Tx)A 得到 y^Tx=0 反过来再验证一下满足 y^Tx=0 的所有非零向量 x 和 y 都可以用于生成满足条件的矩阵 A，原来的回答里没有写清楚“非零”列向量的要求
所以这里 A 的 Jordan 型在不计次序的情况下只有一种结构 (注意 A 非零)
J =
0 1 0
0 0 0
0 0 0
所以 A 就是所有形如 PJP^{-1} 的矩阵,P 取遍 3 阶可逆阵
当然,这个问题规模比较小,还可以把上述乘法乘出来进一步化简,得到 A = xy^T,其中 x 和 y 取遍满足所有 y^Tx=0 的列向量
再问： 不用Jordan型能做吗 我们没教这个
再答： 如果没学过 Jordan 型，3 阶的还能做，但是高阶大概不好办 对 A 的秩进行分析，显然 A 的秩只能是 1 或者 2 如果 rank(A) = 2，那么把 A^2 = 0 视作方程 AX =0 有非零解 A，但是 A 的解空间是 1 维的，不可能有两个线性无关解，矛盾，由此推出 rank(A) = 1 既然 A 是秩 1 矩阵，那么可以写成 A = xy^T 的形式，其中列向量 x 和 y 都非零，再利用 A^2 = (y^Tx)A 得到 y^Tx=0 反过来再验证一下满足 y^Tx=0 的所有非零向量 x 和 y 都可以用于生成满足条件的矩阵 A，原来的回答里没有写清楚“非零”列向量的要求
求所有三阶非零矩阵,其平方为零
求所有平方等于零的非零矩阵A
B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,则为什么B的所有四阶子式为零?
求平方等于零矩阵的所有二阶矩阵
在相似矩阵中的所有定理,推论中为什么不说A矩阵不为零矩阵?
设矩阵A只有一个K-1阶子式且所有K+1阶子式全为零,求K阶子式的秩
为什么非零矩阵对角线元素不全为0时,其行列式不为零?
1矩阵的平方为零,特征值全为零?为什么 2矩阵的平方等于本身,特征值只能为1或零,为什么
矩阵ab乘积为零矩阵,b行列式非零,推出矩阵a为零矩阵?
矩阵与其转置矩阵的乘积为零矩阵 证明原矩阵为零矩阵
线性代数：求证,矩阵A的所有元素之和为零 则行列式A等于零.
已知二阶矩阵A,A的6次方为零矩阵,证A的平方也是零矩阵,答案只提示了用秩证明