圆锥曲线——抛物线直线l与抛物线y²=x交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 17:33:38

圆锥曲线——抛物线
直线l与抛物线y²=x交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1
1)求证：M点的坐标为（1,0）
2）求证OA⊥OB
3）求三角形AOB面积的最小值

设直线y=kx+b
代入y²=x
得(kx+b)²=x
k²x²+2kbx-x+b²=0
k²x²+(2kb-1)x+b²=0
∵A（x1,y1),B(x2,y2)
∵直线过A,B点
∴y1=kx1+b,y2=kx2+b
∵y1y2=-1
∴(kx1+b)(kx2+b)=-1
k²x1x2+bk(x1+x2)+b²=-1
根据韦达定理
由A,B点满足k²x²+(2kb-1)x+b²=0
x1x2=b²/k²,x1+x2=(1-2kb)/k²
则b²+bk(1-2kb)/k²+b²=-1
2b²+(b-2kb²)/k+1=0
b/k+1=0
b=-k
得直线为y=kx-k
恒过1,0点
A:(x1,kx1-k),B(x2,kx2-k)
向量OA=x1,kx1-k
向量OB=x2,kx2-k
向量OA*向量OB=x1x2+(kx1-k)(kx2-k)
=(1+k²)x1x2-k²(x1+x2)+k²
∵x1x2=b²/k²,x1+x2=(1-2kb)/k²,b=-k
则x1x2=1,x1+x2=(1+2k²)/k²
∴向量OA*向量OB=(1+k²)-(1+2k²)+k²=0
∴OA⊥OB
由y=kx-k
OA⊥OB
S△AOB=OA*OB/2
= [√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]/2
则[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]/2
=0.5√(x1x2)²+(x1y2)²+(x2y1)²+(y1y2)²
=0.5√[x1*(k/x1-k)]²+[(1/x1)*(kx1-k)]²
=0.5√(k-kx1)²+(k-kx2)²
=0.5√[2k²-2k²(x1+x2)+k²x1²+k²x2²]
=0.5√[2k²-2k²(1+2k²)/k²+k²(x1+x2)²-k²x1x2]
=0.5√[k²+1/k²+2]
k²+1/k²≥2
S△AOB最小值为1
算死我了.
去年期末考试也是这道题,这个过程老师给了满分.建议好好看看

圆锥曲线——抛物线直线l与抛物线y²=x交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y 直线l与抛物线y^2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于M,若y1*y2=-1 如下图直线l与抛物线Y^2=x交于A（x1,y1）B(x2,y2)两点,与X轴交于点M,且y1y2=-1,求证点M的坐标已知抛物线y=x2,直线l过抛物线的焦点且与抛物线分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点 (1)求证：x1x2= 已知直线l与抛物线y^2=8x交于B(x1,y1)C(x2,y2)两点,且y1y2=16,则直线l必经过对称轴上一定点A 直线l过抛物线y^2=29x(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y2),B(x2,y2)两点,点C在抛物线的准线过点P(2,0)且斜率为K的直线L交抛物线Y的平方=2x于M(x1,y1)N(x2,y2)两点已知抛物线Y∧2=4X,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（X1,Y1）、B（X2,Y2）两点,则Y1∧2+Y2∧2 已知抛物线y^2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求y1^2+y2^2的过抛物线y^2=2px（p>0)的焦点的直线l与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点,若点M（2,m)满足向已知过点P(4,0)的直线与抛物线Y^2=4X相交于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点,求Y1^2+Y2^2的最小值设斜率为1的直线L经过抛物线y^2=4x的焦点,与抛物线相交于A（x1,y1）;B(x2,y2)两点,则向量OA×向量O