欧拉公式:e^(iθ)=cosθ+i(sinθ)的证明过程
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 19:03:19
欧拉公式:e^(iθ)=cosθ+i(sinθ)的证明过程
实际上在定义 e^(x+iy) 的值具体是多少之前,讨论它是没意义的
而 e^(x+iy)=e^xcosy+ie^xsiny 正可以作为单变量的复变函数 f(z)=e^z 在 z=x+iy 处的定义
所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的,你看到的证明是怎么回事呢?
是因为有些时候我们用另一种定义去定义 f(z)=e^z 的值,
那就是用幂级数 f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...来定义,
而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性
现在我们有了复指数函数的定义(而且是出自两种不同的方式,却相互和谐的定义)
但是对三角函数,我们还只能处理实变量的情况,现在我们要继续推广出复变量的三角函数.
因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式 e^z=cosz+isinz
同时注意到 e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz
所以我们就"顺水推舟地"定义 Cosz=(e^z+e^(-z))/2
类似的,定义 Sinz=(e^z-e^(-z))/2i,Tanz=Sinz/Cosz
这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了,不过此时的正余弦函数失去了“有界性”,即对任意的复数w,不能总保证 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1
这样欧拉公式 e^z=Cosz+iSinz 就对任意的复数z都成立了.
而 e^(x+iy)=e^xcosy+ie^xsiny 正可以作为单变量的复变函数 f(z)=e^z 在 z=x+iy 处的定义
所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的,你看到的证明是怎么回事呢?
是因为有些时候我们用另一种定义去定义 f(z)=e^z 的值,
那就是用幂级数 f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...来定义,
而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性
现在我们有了复指数函数的定义(而且是出自两种不同的方式,却相互和谐的定义)
但是对三角函数,我们还只能处理实变量的情况,现在我们要继续推广出复变量的三角函数.
因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式 e^z=cosz+isinz
同时注意到 e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz
所以我们就"顺水推舟地"定义 Cosz=(e^z+e^(-z))/2
类似的,定义 Sinz=(e^z-e^(-z))/2i,Tanz=Sinz/Cosz
这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了,不过此时的正余弦函数失去了“有界性”,即对任意的复数w,不能总保证 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1
这样欧拉公式 e^z=Cosz+iSinz 就对任意的复数z都成立了.
欧拉公式:e^(iθ)=cosθ+i(sinθ)的证明过程
利用欧拉公式证明cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosnθ=-1/2+sin(n+1/2)θ/sin(θ/2)
关于复数形式的问题,我想请问一下复数的指数形式是怎么利用欧拉公式推导得来的,为什么e的iθ次方等于cosθ+isinθ?
欧拉公式的证明过程谁知道
复数z1=cosθ+i,z2=sinθ-i,则|z1-z2|的最大值
欧拉公式的推导过程e^ix=cosx+isinx 该欧拉公式
cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ的证明过程
感应电动势瞬时值公式是E=nBSωcosθ还是nBSωsinθ
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β这个公式怎么证明 注:不要用积化和差或欧拉公式 最好用图形说
欧拉公式cosx+isinx=e^ix推倒出sinx=(e^ix-e^ix)/2i及cox=(e^ix+e^ix)/2的
怎样证明欧拉定理急需关于欧拉定理的详细证明过程.V+F-E=2Thanx!
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