数学几何题.如图,在半径为5的园O中,点A、B在圆O上,∠AOB=90°,点是弧AB上的一个动点,AC与OB的延长线相交

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 09:24:03

数学几何题.
如图,在半径为5的园O中,点A、B在圆O上,∠AOB=90°,点是弧AB上的一个动点,AC与OB的延长线相交于点D,设AC=x,BD=y.
（1）求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围；
（2）如果圆O1与圆O相交于点A、C,且圆O1与圆O的圆心距为2,当BD=1/3OB时,求圆O1的半径；
（3）是否存在点C,使得△DCB相似于△DOC?如果存在,请证明；如果不存在,请简要说明理由.

您好!
（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC,垂足为E,
∴AE= 1/2AC=1/2x,OE=根号下（ AO²-AE²）=根号下（25-1/4x²）．
∵∠DEO=∠AOB=90°,∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE．
∴ OD/OE=AO/AE,∵OD=y+5,∴ （y+5）/根号下（25-1/4x²）=5/（x/2）．
∴y关于x的函数解析式为： y=【5根号下（100-x²）-5x】/x．
定义域为： 0＜x＜5根号下2．
（2）当BD= 1/3OB时, y=5/3,【5根号下（100-x²）-5x】/x．
∴x=6．
∴AE= 1/2x=3,OE= 根号下（5²-3²）=4．
当点O1在线段OE上时,O1E=OE-OO1=2, O1A=根号下（O1E²+AE²）=根号下（2²+3²）=根号下13．
当点O1在线段EO的延长线上时,O1E=OE+OO1=6, O1A=根号下（O1E²+AE²）=根号下（6²+3²）=3根号5．
⊙O1的半径为 13或 35．
（3）存在,当点C为 AB^的中点时,△DCB∽△DOC．
证明如下：∵当点C为 AB^的中点时,∠BOC=∠AOC= 1/2∠AOB=45°,
又∵OA=OC=OB,∴∠OCA=∠OCB= （180-45°）/2=67.5°,
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D,∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C,使得△DCB∽△DOC．
希望对你有帮助~

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