设f(x)在[a,b]上连续且非负

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 19:51:02

设f(x)在[a,b]上连续且非负
证明对任意实数k,都有(∫f(x)coskxdx)^2+(∫f(x)sinkxdx)^2≤(∫f(x)dx)^2
三个都是(a,b)的定积分,
ξ1和ξ2不相等啊，一个是f (x)的中值，一个是f(x)2的中值，而且有反例，f(x)=x,a=0,b=1,(∫f(x)dx)^2等于1/4,而(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx=1/3
对右边用柯西不等式也可以得到(∫f(x)dx)^2≤(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx 我证得就是左右都小于(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx，但是不能比较左右的大小...希望您进一步指点

可以根据定义来做.
将区间〔a,b〕分为等长的n个子区间.设 xi为第i个区间的中点.
设
pi＝f（xi）coskxi,
qi＝f（xi）sinkxi,
ri＝f（xi）．
如果我们能证明下式,两边平方和内配上子区间长度,取极限,则结论成立．
（p1＋．．＋pn）＾2＋（q1＋．．．＋qn）＾2＜＝（r1＋．．．＋rn）＾2
我们知道 pi＾2＋qi＾2 ＝ ri＾2,ri ＞＝ 0
两边展开得：
左边为
pi＾2 对i求和
2pipj 对i,j求和,i＜j．
qi＾2 对i求和
2qiqj 对i,j求和,i＜j．
右边为
ri＾2 对i求和
2rirj 对i,j求和,i＜j．
显然：
pi＾2 对i求和＋ qi＾2 对i求和＝ ri＾2 对i求和
对剩下的,我们只需证明：任给 i＜j
pipj＋qiqj＜＝ rirj
如果 ri或 rj为0,结论显然,否则,令
sinA＝ pi／ri,cosA＝qi／ri,
sinB＝pj／rj,cosB＝qj／rj,
则所求证不等式为：
（sinAsinB＋cosAcosB）rirj＜＝rirj
即cos（A－B）＜＝1 ,显然成立.于是原结论成立.

设f(x)在[a,b]上连续且非负设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x) 设f(x)=1/（a+|a|e^bx）在R上连续且limf(x)=0(X趋于负无穷）确定a,b符号设f(x)在[a、b]上连续且方程f(x)=0在[a、b]上无实根,试证明f(x)在[a、b]上恒为正或恒为负. 设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx| 证明设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+) ,f(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续. 设f(x)在闭区间（a,b)上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且没有零点,证明f(x)在[a,b]上保号 f(x)在[0,b]为单调非负函数且连续,0 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2) 【中值定理证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f((a+b)/ 设f(x)在[a,b]上连续,a