作业帮一个质数是p,它的4次方的所有约数之和是完全平方数,一共有多少这样的数?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 10:51:24
一个质数是p,它的4次方的所有约数之和是完全平方数,一共有多少这样的数?
简单做一下：
易验证知p>2,即p≥3.
p^4的全体约数之和=1+p+p^2+p^3+p^4=x^2
则x^2≡1(modp),由于p≥3,所以x≡1(modp)或者x≡-1(modp)
对这两种情形分别讨论：
1.x≡-1(modp)
设x=kp-1,则
x^2=k^2p^2-2kp+1=1+p+p^2+p^3+p^4
k^2p-2k=1+p+p^2+p^3
显然k^2>p^2,否则上式左边小于右边,即k≥p+1
但是k还要满足kp^3+p^2+p+1
所以k≤p+1,
从而k=p+1,于是x=p^2+p-1及
(p^2+p-1)^2=p^4+p^3+p^2+p+1
可解得p=3
2.x≡1(modp)
设x=kp+1,则
x^2=k^2p^2+2kp+1=p^4+p^3+p^2+p+1
k^2p+2k=p^3+p^2+p+1
显然k≥p+1且k
易验证知p>2,即p≥3.
p^4的全体约数之和=1+p+p^2+p^3+p^4=x^2
则x^2≡1(modp),由于p≥3,所以x≡1(modp)或者x≡-1(modp)
对这两种情形分别讨论：
1.x≡-1(modp)
设x=kp-1,则
x^2=k^2p^2-2kp+1=1+p+p^2+p^3+p^4
k^2p-2k=1+p+p^2+p^3
显然k^2>p^2,否则上式左边小于右边,即k≥p+1
但是k还要满足kp^3+p^2+p+1
所以k≤p+1,
从而k=p+1,于是x=p^2+p-1及
(p^2+p-1)^2=p^4+p^3+p^2+p+1
可解得p=3
2.x≡1(modp)
设x=kp+1,则
x^2=k^2p^2+2kp+1=p^4+p^3+p^2+p+1
k^2p+2k=p^3+p^2+p+1
显然k≥p+1且k
一个质数是p,它的4次方的所有约数之和是完全平方数,一共有多少这样的数?
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