第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛

第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
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1．甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人,每个病人患x病或y病中的一种,经过几天治疗,甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人.问：经过这几天治疗后,是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈均低于乙医院的?举例说明.
　　(x病治愈率=
　　解.可能.列表如下：
　　X病 Y病 病愈
　　甲医院病人数 10 90 0+63=63
　　甲医院病愈人数百分比 0% 70%
　　乙医院病人数 90 10 45+10=55
　　乙医院病愈人数百分比 50% 100%
　　设乙医院接受90个x病人,10个y病人,治愈率分别为50%和100%；甲医院接受10个x病人,90个y病人治愈率分别为0%和70%.则乙医院治愈的病人数是55人；甲医院治愈的病人数是63人.
　　2．在长方形ABCD中,BF=AE=3厘米,DE=6厘米.三角形GEC的面积是20平方厘米,三角形GFD的面积是16平方厘米.那么,长方形ABCD的面积是多少平方厘米?
　　解.设AG=a厘米,BG=b厘米.则
　　所以
　　以及,
　　所以,
　　由（1）和（2）得到,平方厘米）.
　　解2.
　　分别向长方形ABCD外作梯形AQSD和BPRC使得AQ=AG,BP=BG,SD=CD=CR.
　　.设CD=AB=AG+BG=x.
　　则
　　即
　　整理得
　　3．甲、乙、丙三辆汽车分别从 的顶点,A,B,C出发,选择一个地点相会(AB=c,AC=b,BC=a).每辆车沿直线路段到相会地点.三辆车的单位路程耗油量分别为 .要使三辆车路上所用的油量之和最少,相会地点应选在何处?最小油量是多少（用a,b,c表示）?
　　解.设会面地点在O,
　　（O在AB上取等号）
　　（O在AC上取等号）
　　（O在AB和AC的交点出A取等号）又
　　（当x=0时,即O取在A点时取等号）.
　　答.相会地点选在A点三人在路上所用的油量之和最少；最少值为
　　4．用十进位制表示的某些自然数等于它的各位数字之和的16倍.求所有这样
　　的自然数之和.
　　解.n不可能是一位数、两位数和四位数,
　　.
　　5．求同时满足下列三个条件的自然数
　　1） 2） 3） .
　　解.若 不是整数.设
　　所以,k是169的因数.因此,
　　当k=169时,不满足要求.
　　当
　　不满足要求.
　　答.
　　6．如图,长方阵,行距和列距都是1.第6列上(除与第0行相交处外),每一个阵点上放有一个靶标,而前5列上所有的阵点上都放有障碍物.神枪手站在第0行第0列的位置,要击中靶标,必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物.若神枪手每发子弹都能击中目标,而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物.那么
　　1）不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个?
　　2）要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个?
　　解.我们将第x列第y行的阵点记为(x,y).
　　在（6,a）处有一个靶标,从(0,0)到(6,a)的
　　直线上若有阵点B(x,y)(如下图),
　　则连接OA,B点在OA上,
　　连接BC.,此即
　　,令最大公约数
　　AB线段上共有d-1个阵点.因此,在击毁靶标(6,a)之前,先要清除d-1个障碍物.
　　所以,要击毁靶标(6,a)就要用d发子弹.
　　1） 若 ,且最大公约数(6,a)=1,则靶标(6,a)只需要1发子弹就能击毁.不超过100的自然数中,既不能被2整除,也不能被3整除的数与6互质.
　　1到100的自然数被2整除的数的个数=100/2=50；
　　1到100的自然数被3整除的数的个数=[100/3]=33；
　　1到100的自然数被6整除的数的个数=[100/6]=16.
　　故1到100的自然数或被2整除,或被3整除的数的个数=50+33-16=67.因此,100以内的自然数与6互质的数的个数=100-67=33,即有33个靶标只需要一发子弹就能击毁.
　　2） 若靶标(6,a) 前面只有一个障碍物,那么最大公约数(6,a)=2.
　　100以内的自然数,能被2整除,但不能被6整除的数有50-16=34个.
　　所以,用两发子弹就能清除的靶标有34个.