求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 09:24:15
求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx
用三角代换可证明以下二不定积分公式:
∫√(x^2+a^2)dx=(x/2)√(x^2+a^2)+(a^2/2)ln[x+√(x^2+a^2)]+C,
∫dx/√(x^2+a^2)=ln(x+√(x^2+a^2)+C,
原式=∫(x^2+x+1)dx/√(x^2+x+1)-(1/2)∫(x+1)dx/√(x^2+x+1)-(1/2))∫dx/√(x^2+x+1)
=∫√(x^2+x+1)dx-(1/2)∫(d(x^2+x+1)/√(x^2+x+1)-(1/2)∫dx/√(x^2+x+1)
=∫√[(x+1/2)^2+3/4]d(x+1/2)-(1/2)(x^2+x+1)^(-1/2+1)/(-1/2+1)-∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)^2+3/4]
=(1/2)*(x+1/2)√(x^2+x+1)+(3/8)ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]-√(x^2+x+1)-(1/2)ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]+C
=(1/2)*(x+1/2)√(x^2+x+1)-(1/8)ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]-√(x^2+x+1)+C.
∫√(x^2+a^2)dx=(x/2)√(x^2+a^2)+(a^2/2)ln[x+√(x^2+a^2)]+C,
∫dx/√(x^2+a^2)=ln(x+√(x^2+a^2)+C,
原式=∫(x^2+x+1)dx/√(x^2+x+1)-(1/2)∫(x+1)dx/√(x^2+x+1)-(1/2))∫dx/√(x^2+x+1)
=∫√(x^2+x+1)dx-(1/2)∫(d(x^2+x+1)/√(x^2+x+1)-(1/2)∫dx/√(x^2+x+1)
=∫√[(x+1/2)^2+3/4]d(x+1/2)-(1/2)(x^2+x+1)^(-1/2+1)/(-1/2+1)-∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)^2+3/4]
=(1/2)*(x+1/2)√(x^2+x+1)+(3/8)ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]-√(x^2+x+1)-(1/2)ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]+C
=(1/2)*(x+1/2)√(x^2+x+1)-(1/8)ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]-√(x^2+x+1)+C.
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