作业帮函数f（x)=x|sinx+a|+b是奇函数的充要条件
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/14 05:21:25
函数f（x)=x|sinx+a|+b是奇函数的充要条件
充要条件为：a=b=0
证明如下：
必要性：由f(x)为奇函数,推出a=b=0
1,f(0)=0,故b=0
2,x不等于0时：
f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0
所以 -x|sin(-x)+a|+x|sinx+a|=0
因为 x不等于0,故可化简为
|sinx+a|=|-sinx+a|
所以,要么sinx+a=-sinx+a 要么 sinx+a=-(-sinx+a)
前者推出sinx=0,故不满足所有x的取值
后者推出a=0,sinx可为任意值.
充分性：由a=b=0,推出f(x)为奇函数
若a=b=0,
则f(-x)=-x|sin(-x)|=-x|-sinx|=-x|sinx|=-f(x)
证毕
证明如下：
必要性：由f(x)为奇函数,推出a=b=0
1,f(0)=0,故b=0
2,x不等于0时：
f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0
所以 -x|sin(-x)+a|+x|sinx+a|=0
因为 x不等于0,故可化简为
|sinx+a|=|-sinx+a|
所以,要么sinx+a=-sinx+a 要么 sinx+a=-(-sinx+a)
前者推出sinx=0,故不满足所有x的取值
后者推出a=0,sinx可为任意值.
充分性：由a=b=0,推出f(x)为奇函数
若a=b=0,
则f(-x)=-x|sin(-x)|=-x|-sinx|=-x|sinx|=-f(x)
证毕
函数f(x)=x|sinx+a|+b是奇函数的充要条件是?
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