用定义法证明函数f(x)=x+根号(1+x²)在R上是增函数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/07 10:45:49

用定义法证明函数f(x)=x+根号(1+x²)在R上是增函数
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证明：
设x1,x2是定义域上是任意二个数,且x1>x2.
f(x1)=x1+根号（x1的平方+1）
f(x2)=x2+根号（x2的平方+1）
因为x1>x2,所以,（x1的平方+1）>（x2的平方+1）
所以,(x1+根号（x1的平方+1））>(x2+根号（x2的平方+1））,
(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））>1
f(x1)÷f(x2)=(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））
因为(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））>1
所以f(x1)＞f(x2)
所以函数f(x)在其定义域上是单调增函数.
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再问：请问为什么“因为x1>x2，所以，（x1的平方+1）>（x2的平方+1）”如果|x1|>|x2|呢
再答：设x1√x1^2=|x1|≥-x1，所以√(x1^2+1)+x1>0 同理，√(x2^2+1)+x2>0 有[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]>0 而x1-x20 所以f(x1)-f(x2)

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