作业帮已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x,y∈R都有f(x+y)=xf(y)+yf(x)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 07:12:26
已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x,y∈R都有f(x+y)=xf(y)+yf(x)
(1)求f(0)f(1)的值
（2）判断其奇偶性
（3）若f（x）在【0,无限大）上是增函数且f（x）+f（x-1|2）小于0求x范围
(1)求f(0)f(1)的值
（2）判断其奇偶性
（3）若f（x）在【0,无限大）上是增函数且f（x）+f（x-1|2）小于0求x范围
分析：
（1）令x=y=0,代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程,解之即可求得f（0）,再有x=x2+x2,即可证得对任意的x∈R,有f（x）＞0；
（2）设x1,x2∈R且x1＜x2,利用定义法作差,整理后即可证得差的符号,进而由定义得出函数的单调性．
（1）可得f（0）•f（0）=f（0）
∵f（0）≠0
∴f（0）=1
又对于任意x∈R,f(x)＝f(x/2+x/2)＝[f(x/2)]²≥0又f(x/2)≠0,∴f（x）＞0
（2）设x1,x2∈R且x1＜x2,则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]
∵x1-x2＜0
∴f（x1-x2）＞f（0）=1
∴f（x1-x2）-1＞0
对f（x2）＞0
∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0
∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数
（1）令x=y=0,代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程,解之即可求得f（0）,再有x=x2+x2,即可证得对任意的x∈R,有f（x）＞0；
（2）设x1,x2∈R且x1＜x2,利用定义法作差,整理后即可证得差的符号,进而由定义得出函数的单调性．
（1）可得f（0）•f（0）=f（0）
∵f（0）≠0
∴f（0）=1
又对于任意x∈R,f(x)＝f(x/2+x/2)＝[f(x/2)]²≥0又f(x/2)≠0,∴f（x）＞0
（2）设x1,x2∈R且x1＜x2,则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]
∵x1-x2＜0
∴f（x1-x2）＞f（0）=1
∴f（x1-x2）-1＞0
对f（x2）＞0
∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0
∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数
已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x,y∈R都有f(x+y)=xf(y)+yf(x)
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（xy）=xf(y)+yf(x）成立，数列{an}
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数且对于任意的x,y属于R有f(xy)=xf(x)+yf(x)
已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y属于R,有f(xy)=xf(y)+yf(x),若y=f(x)
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y)
已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(xy)=xf(y)+yf(x)
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）．
已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．
已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数对于任意的x y属于R有f(xy)=xf(y)+yf(x)
已知f(x)是定义在R上且不恒等于0的函数,对任意的x,y∈R,有f(xy)=xf(y)+yf(x).
已知定义在R上的函数f（x）不恒等于0，且对任意x，y∈R，满足xf（y）=yf（x），则f（x）的奇偶性为______
已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x.y∈R都有f(x·y)=xf(y),数列an满足an=f(2^