已知某人消费两种商品X Y,其效用函数为U=X^1/2Y^1/2,收入为100元,两种商品的价格均为2元,如果此时X的价

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 10:12:03

已知某人消费两种商品X Y,其效用函数为U=X^1/2Y^1/2,收入为100元,两种商品的价格均为2元,如果此时X的价格下降为1元,求商品价格下降的替代效应和收入效应.

两种商品价格均为2元,收入为100,效用函数U＝X^0.5Y^0.5
则效用最大化时,每种商品的消费量均为25,效用U＝25（可以用边际效用之比＝价格之比,再联合预算线计算出来）
当X价格下降时,效用最大化条件下
MUx=0.5*(Y/X)^0.5 Px=1
MUy=0.5*(X/Y)^0.5 Py=2
利用效用最大化条件
边际效用之比＝价格之比可得：
Y/X＝1/2
预算约束：X+2Y＝100
可以解出Y＝25,X＝50
这里由于X价格下降导致X消费增加了50-25=25,这是总效应
替代效应：假设实际收入不变,只是价格变化（预算线变化）导致的需求的变化
对实际收入不变有两种解释：希克斯（消费者在同一条无差异曲线上）；斯勒茨基（消费者可以购买到价格变化之前的组合）
希克斯替代效应
求25=X^0.5Y^0.5,与新预算线：X＋2Y＝K 的切点
方法：
无差异曲线的斜率＝－MUx／MUy＝－Y/X
预算线的斜率＝－Px／Py＝－1/2
令两个斜率相等,可得X＝2Y
同时该无差异曲线为：25=X^0.5Y^0.5 即25*25=XY
将X＝2Y代入上式,可得Y＝25/（2^0.5)
X=50/（2^0.5)
替代效应＝50/（2^0.5)-25
剩余的部分是收入效应