线性代数证明题设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组(A^k)x=0有解向量a,且[A^(k-1)]a!=0,证明

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 08:47:01

线性代数证明题
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组(A^k)x=0有解向量a,且[A^(k-1)]a!=0,证明：向量组a,Aa,…,A^(k-1)a是现行无关的.

证:设 m0a+m1Aa+m2A^2a+……+m(k-1)A^(k-1)a=0 (1)
用A^(k-1)左乘等式两边
m0A^(k-1)a+m1A^ka+m2A^(k+1)a+……+m(k-1)A^(2k-2)a=0
因为A^ka=0,
故得 m0A^(k-1)a=0.
又因为 A^(k-1)a≠0,所以 m0=0.
(1)式变为 m1Aa+m2A^2a+……+m(k-1)A^(k-1)a=0 (2)
再用A^(k-2)左乘(2)式两边,
由A^ka=0,同样得 m1A^(k-1)a=0.
再由 A^(k-1)a≠0,知 m1=0.
所以有 m2A^2a+……+m(n-1)A^(k-1)a=0 (3)
如此下去,得 m0=m1=m2=...=m(k-1)=0.
所以 a,Aa,A^2a,……,A^(k-1)a 线性无关.

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