求下列伯努利方程的解：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 20:49:15

求下列伯努利方程的解：
（1）y'+y=y^2(cosx-sinx)
(2)y'+y/x=2x^(-1/2)y^(7/2)
(3)3xy'-y=3xy^4lnx y(1)=1
(4)(e^y+3y^2)dx+2xydy=0
答案分别是：（1）y^(-1)=Ce^x-sinx (2)y^(-5/2)=Cx^(5/2)+(5/2)x^(1/2)
(3)y^（-3）=1/(4x)-3xlnx/2+3x/4 (4)y^2=C/x^3-(1/x-2/x^2+2/x^3)e^x

1.两边同除以y^2,y'/y^2+1/y=(cosx-sinx)
设u=1/y,代入得：-u'+u=(cosx-sinx),或：u'-u=-cosx+sinx
通解为：u=e^x(C+∫(sinx-cosx)e^(-x)dx=e^x(C-sinxe^(-x))=Ce^x-sinx
即：1/y=Ce^x-sinx
2.两边同除以y^(7/2) y'/y^(7/2) +y^(-5/2) /x=2x^(-1/2)
设u=y^(-5/2),代入得：-(2/5)u'+u/x=2x^(-1/2),或：u'-5u/2x=-5x^(-1/2)
通解为：u=x^(5/2)(C-∫x^(-5/2)5x^(-1/2)dx)=x^(5/2)(C-5∫x^(-5/2)x^(-1/2)dx)=Cx^(5/2)+(5/2)x^(1/2)
即：y^(-5/2)=Cx^(5/2)+(5/2)x^(1/2)
3.两边同除以xy^4 ,3y'/y^4-1/xy^3=3lnx
设u=1/y^3,-u'-1/x=3lnx ,u'+u=-3lnx
通解为：u=(1/x)(C-3∫xlnxdx)=(1/x)(C-3∫xlnxdx)=(1/x)(C-(3/2)x^2lnx+(3/4)x^2)）
即1/y^3=C/x-(3/2)xlnx+(3/4)x,由y(1)=1代入得：C=1/4
y=1/(4x)-(3/2)xlnx+(3/4)x
4.这题目有错,是(e^x+3y^2)dx+2xydy=0?
这里用另外的方法：乘以x^2,x^2e^xdx+(3x^2y^2dx+2x^3ydy)=0
或：x^2e^xdx+d(x^3y^2)=0
积分：∫x^2e^xdx+x^3y^2=C
或：（x^2-2x+2)e^x+x^3y^2=C

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