t+2根号下(1-t^2)的最大值除了三角换元法外还可以怎么求?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 01:22:36

t+2根号下(1-t^2)的最大值除了三角换元法外还可以怎么求?
t在（-1,1）的范围内.
除了求导之外还有吗？

本法避开三角代换和求导手段,仅供参与.
令x＝t＋2√（1－t^2）,得：x－t＝2√（1－t^2）,∴（x－t）^2＝4（1－t^2）,
∴x^2－2xt＋t^2＝4－4t^2,∴5t^2－2xt＋（x^2－4）＝0.
∵t∈（－1,1）,∴需要：（－2x）^2－4×5（x^2－4）≧0,∴x^2－5（x^2－4）≧0,
∴4x^2≦20,∴x^2≦5,∴－√5≦x≦√5.
∴［t＋2√（1－t^2）］的最大值是√5.
再问：为什么只需要△大于等于零就可以求出x值域？
再答：将5t^2－2xt＋（x^2－4）＝0看成是关于t的一元二次方程，判别式不小于0时才有实数根。注：如晴天雨丝丝那样利用柯西不等式，简明！
再问： “△大于等于零”算出来的应该是R上有解吧？不是应该保证解在“t∈（－1，1）”范围内吗(⊙_⊙)？不是很明白，求解答啊啊啊
再答：这个不矛盾。要确保√（1－t^2）有意义，就需要：1－t^2≧0，∴t^2≦1，∴t∈［－1，1］。 ∴5t^2－2xt＋（x^2－4）＝0中t为实数，实际上是指t∈［－1，1］。由此得出：当x＝√5时，t＝1/√5，自然有：t∈（－1，1）。

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