初等矩阵是由单位矩阵做某种行或列变换所得,那么该初等矩阵与某矩阵相乘使该矩阵也做该种变换.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 19:19:21

初等矩阵是由单位矩阵做某种行或列变换所得,那么该初等矩阵与某矩阵相乘使该矩阵也做该种变换.
我知道算的时候都是对的可是怎么证明呢

需要分左乘和右乘
该初等矩阵与某矩阵右乘,则仅限行变换
该初等矩阵与某矩阵左乘,则仅限列变换
矩阵初等变换可以通过左乘某个矩阵或右乘某个矩阵实现
其中行变换是左乘,列变换是右乘.
以下仅讨论对矩阵X作行变换的情况,列变换只需把左乘改成右乘
（1）对调两行r1r2,得到X1,则
X1=AX, 其中A=
0 1 0 ...0
1 0 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
（2）r1*a (a为常数) , 得到X2,则
X2=BX, 其中B=
a 0 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
(3)r1-r2 , 得到X3,则
X3=CX, 其中C=
1 -1 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
回到原题,设原矩阵为X, “某矩阵”为Y
若X=(ABC)E
∴XY=(ABC)EY=(ABC)Y
即XY可通过Y作与单位阵E变换成X所作的相同的行变换获得
若X=E(ABC)
∴YX=YE(ABC)=Y(ABC)
即YX可通过Y作与单位阵E变换成X所作的相同的列变换获得
注:以上(ABC)实际上可以是作若干次相应的行变换或列变换,即左乘若干个A, 若干个B, 若干个C, 或右乘若干个A, 若干个B, 若干个C

初等矩阵是由单位矩阵做某种行或列变换所得,那么该初等矩阵与某矩阵相乘使该矩阵也做该种变换. 只用初等列变换,将该矩阵化为单位矩阵矩阵如何初等变换线性代数矩阵初等变换线性代数矩阵初等变换线性代数初等矩阵初等变换线性代数初等矩阵初等变换利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程用行初等变换将矩阵变为单位矩阵矩阵的数乘与矩阵的初等行变换矩阵化成行最简形只能做初等行变换吗用初等变换解下列矩阵方程