平面几何题M是△ABC边BC中点,MX⊥BC BY⊥AB CZ⊥AC .使MX:BY:CZ=1/2BC:AB:AC 求证

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 08:54:43

平面几何题
M是△ABC边BC中点,MX⊥BC BY⊥AB CZ⊥AC .使MX:BY:CZ=1/2BC:AB:AC 求证XYZ三点共线且X是YZ中点?

证明：
过A作AH⊥BC,垂足为H,过Y、Z向直线BC引垂线,垂足分别为S、T,
∵∠ABY=∠ACZ=90°
∴∠YBS+∠ABH=90°,∠ZCT+∠ACH=90°,
又∵∠YSB=∠BHA=90°,∠ZTC=∠CHA=90°,
∴Rt△YSB∽Rt△BHA,Rt△ZTC∽Rt△CHA,
∵SB=YB*sin∠BYS,CT=CZ*sin∠CZT,YB/CZ=AB/AC,
∴SB/CT
=(YB*sin∠BYS)/(CZ*sin∠CZT)
=(AB*sin∠ABH)/(AC*sin∠ACH)
=AH/AH
=1
∴SB=CT,
∵M是BC的中点,
∴BM=CM
∴SM=TM,即M是ST的中点,……①
∵YS=YB*cos∠BYS,ZT=CZ*cos∠CZT,YB:MX:CZ=AB:(BC/2):AC=AB:BM:AC
∴(YS+ZT)/MX
=YS/MX+ZT/MX
=(YB*cos∠BYS)/MX+(CZ*cos∠CZT)/MX
=(AB*cos∠ABH)/BM+(AC*cos∠ACH)/BM
=BH/BM+CH/BM
=BC/BM
=2
∴YS+ZT=2MX……②
结合结论①和②,知MX是梯形ZTSY的中位线,即YX=XZ,且Y、X、Z必共线
得证!
……………………………………………………………………………………
如果觉得理由不够充分,还可以再继续证明,不妨设AB＞AC,此时YS＞ZT,
过X作XO⊥YS,垂足为O,过Z作ZP⊥XM,垂足为P,
则,YO=YS-OS=YS-XM,XP=XM-PM=XM-ZT,OX=SM,PZ=MT,
由②知,YS-XM=XM-ZT,
∴YO=XP,OP=PZ
又∵∠YOX=∠XPZ=90°,
∴Rt△YOX≌Rt△XPZ,
∴∠XYO=∠ZXP,
∴∠YXZ
=∠YXO+∠ZXP+∠OXM
=(∠YXO+∠YOX)+∠OXM
=90°+90°
=180°
∴Y、X、Z共线,
又∵SM=MT,ZT‖XM‖YS,
∴由平行线等分线段定理,知
YX=XZ
即X是YZ的中点,且Y、X、Z共线,
得证!
后边的这部分只是更完整点儿,其实到分割线那里已经足够了,
如果还有疑问,欢迎再次提出!
稍后上图!

平面几何题M是△ABC边BC中点,MX⊥BC BY⊥AB CZ⊥AC .使MX:BY:CZ=1/2BC:AB:AC 求证已知在△ABC中,(AB>AC)AP平分∠BAC,CP⊥AP于P,M是BC中点,求证:MP=1/2(AB-AC) 已知,在△ABC中,AC=BC,M是AB中点,N是AC中点,DC//AB,交MN的延长线于D,求证:AD⊥DC （1）、如图所示,在几何体中EA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点如图,PD垂直平面ABC,AB=AC,D是BC的中点,求证：PA⊥BC. 三角形ABC中,角BAC是直角,AC大于AB,AD是高,M是BC的中点,求证AC^2-AB^2=2*DM*BC 如图,M是等腰三角形ABC底边BC上的中点,DM⊥AB,EF⊥AB,ME⊥AC,DG⊥AC.求证：四边形MEND是菱形. 如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,求证：∠DEF=∠DFE △ABC中,AB=AC点D是BC中点DF⊥AC于点F,E是DF中点,求证AE⊥BF 已知,如图所示,M是等腰三角形ABC底边BC上的中点,DM⊥AB,EF⊥AB,ME⊥AC,DG⊥AC,求证四边形MEND 已知AB⊥平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点,BC⊥CD.求证(1)MN∥平面BCD；(2)平面BCD⊥平面ABC 数学题；D是△ABC的边BC的中点,DM⊥DN,交AB于M,交AC于N,求证:BM+CN>MN.