作业帮一道初三数学题（有关一元二次方程）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 20:18:50
一道初三数学题（有关一元二次方程）
已知a、b、c为△ABC三边之长,且方程（6—x）²—4（a—x）（c—x）=0有两个相等的实数根,求证△ABC为等边三角形
修改为：已知a、b、c为△ABC三边之长，且方程（b—x）²—4（a—x）（c—x）=0有两个相等的实数根，求证△ABC为等边三角形
已知a、b、c为△ABC三边之长,且方程（6—x）²—4（a—x）（c—x）=0有两个相等的实数根,求证△ABC为等边三角形
修改为：已知a、b、c为△ABC三边之长，且方程（b—x）²—4（a—x）（c—x）=0有两个相等的实数根，求证△ABC为等边三角形
（b—x）²—4（a—x）（c—x）=0
b²-2bx+x²-4ac+4ax+4cx-4x²=0
-3x²+4ax+4cx-2bx+b²-4ac=0
-3x²+(4a+4c-2b)x+(b²-4ac)=0
根据两个相等的实数根可知方程的b²-4ac=0
[(4a+4c)-2b]²-4(-3)(b²-4ac)=0
(4a+4c)²-4b(4a+4c)+4b²+12b²-48ac=0
16a²+32ac+16c²-16ab-16bc+16b²-48ac=0
16a²+16b²+16c²-16ab-16bc-16ac=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
因为(a-b)²>=0
(b-c)²>=0
(a-c)²>=0
所以只有当a=b=c时方程(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0才成立
所以△ABC为等边三角形
b²-2bx+x²-4ac+4ax+4cx-4x²=0
-3x²+4ax+4cx-2bx+b²-4ac=0
-3x²+(4a+4c-2b)x+(b²-4ac)=0
根据两个相等的实数根可知方程的b²-4ac=0
[(4a+4c)-2b]²-4(-3)(b²-4ac)=0
(4a+4c)²-4b(4a+4c)+4b²+12b²-48ac=0
16a²+32ac+16c²-16ab-16bc+16b²-48ac=0
16a²+16b²+16c²-16ab-16bc-16ac=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
因为(a-b)²>=0
(b-c)²>=0
(a-c)²>=0
所以只有当a=b=c时方程(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0才成立
所以△ABC为等边三角形