作业帮复合函数求导公式是如何推导出来的?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 08:58:08
复合函数求导公式是如何推导出来的?
设y=f(u),u=g(x)
则f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / du
du = dg(x) = g'(x)dx
则原式=
f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / g'(x)dx
f'(u)g'(x) = ( f(u+du) - f(u) ) /dx
= ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx = f'(x)
上述证明是否正确,如果正确的话,为什么说df/dx = df/du * du/dx 中的du不可以约去,上述证明中g'(x)的移位不是与du的约去本质相同吗?
上述证明如果错误,请给出正确的证明,并说明不同之处在哪里?
如果以下是对的,请说明设v 和u 的意义在哪里?如果把u ,v消去,得到的等式与上述我的证明不是一样的吗?
首先,根据定义：当h->0时,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,当h->0时,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）
所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时,u和v都->0,这个容易看.
所以当h->0时,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
设y=f(u),u=g(x)
则f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / du
du = dg(x) = g'(x)dx
则原式=
f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / g'(x)dx
f'(u)g'(x) = ( f(u+du) - f(u) ) /dx
= ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx = f'(x)
上述证明是否正确,如果正确的话,为什么说df/dx = df/du * du/dx 中的du不可以约去,上述证明中g'(x)的移位不是与du的约去本质相同吗?
上述证明如果错误,请给出正确的证明,并说明不同之处在哪里?
如果以下是对的,请说明设v 和u 的意义在哪里?如果把u ,v消去,得到的等式与上述我的证明不是一样的吗?
首先,根据定义：当h->0时,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,当h->0时,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）
所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时,u和v都->0,这个容易看.
所以当h->0时,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
你的证明是错误的,有两个地方；u+du=g(x+dx),?,由u=g(x)能推出吗?,你好像是为了凑出结论而编出的,这只是形式上的问题,尚不太严重,严重的是下面这个,这涉及到基本概念. ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx = f'(x) ?,就算左边有这样一个式子,它等于右边吗?这个写法是将y直接看成了x的函数.按设定,y=f(u),u=g(x),y是u的函数【不论有没有u=g(x)】,我们能看到的是y随u的变化,我们针对y的任何运算【包括求导】只能针对u,只是因为u=g(x),我们才认为y实质上是随x变化的,尽管实质上是这样的,但我们无法对y的运算直接针对x,只能通过中介u而达到.讲到复合函数求导,那通常的非复合函数的求导就先确定了才行.导数是因为微分的存在而存在【导数是两个微分的比值】.dy=f‘(u)du,du=g'(x)dx,所以,dy=f‘(u)×g'(x)dx,dy/dx=f‘(u)×g'(x)【通过这个链式法则,通过中介,我们间接的找到了实质上y与x的关系】.【注意：dy=f‘(u)du,du=g'(x)dx,这两个式子不论前面的u与后面的u有没有关系,都成立,一定要独立的看.如有关系,是一个u,则链式法则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)成立,否则dy/dx就没有意义.】你的推导方式：用取极限的方法用在复合求导上太繁琐【不是说不行】,因复合求导是基本概念求导上的二级概念,用基本概念推二级概念易懂,取极限的方法与二级概念隔了一层就繁琐.第一部分也许说的不对,你主要看一些思路吧,仅供参考.
再问： 1，u=g(x), du=dg(x)=g(x+dx) - g(x) u+du= g(x) +g(x+dx) -g(x) =g(x+dx),这显然不是凑出来的。 还有其他写在评论里
再答： du=dg(x)=g(x+dx) - g(x)：微分du写成这样的形式我觉得在计算数学中是可以的，g(x+dx) - g(x)可以叫差分，在理论推导中是不行的。你百度一下微分的定义，微分代表了增量g(x+dx) - g(x)的一个线性主部【如果能够区分出来的话】，而且这个主部是确定的，由此点的导数表示。
再问： dx是Δx趋向于0的表示，所谓的线性主部我的理解其实就是缺少泰勒展开中我们省略的高阶无穷小的部分，而缺少的部分不在于dx而在于dy，而这里的dx都是放在函数里面，du=g'(x)dx不够迫近，但g(x+dx)不是准确的dy吗？另外请您看看评论里最后一个
再问： 1，u=g(x), du=dg(x)=g(x+dx) - g(x) u+du= g(x) +g(x+dx) -g(x) =g(x+dx),这显然不是凑出来的。 还有其他写在评论里
再答： du=dg(x)=g(x+dx) - g(x)：微分du写成这样的形式我觉得在计算数学中是可以的，g(x+dx) - g(x)可以叫差分，在理论推导中是不行的。你百度一下微分的定义，微分代表了增量g(x+dx) - g(x)的一个线性主部【如果能够区分出来的话】，而且这个主部是确定的，由此点的导数表示。
再问： dx是Δx趋向于0的表示，所谓的线性主部我的理解其实就是缺少泰勒展开中我们省略的高阶无穷小的部分，而缺少的部分不在于dx而在于dy，而这里的dx都是放在函数里面，du=g'(x)dx不够迫近，但g(x+dx)不是准确的dy吗？另外请您看看评论里最后一个