用数学归纳法证明2²;+4²;+6²;+……+（2n)²=1/4n(n+1)(2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 04:55:13

用数学归纳法证明2²;+4²;+6²;+……+（2n)²=1/4n(n+1)(2n+1)

正确的结论是：2²＋4²＋6²＋……＋﹙2n﹚²=﹙2／3﹚n﹙n＋1﹚﹙2n＋1）
证明：
1、当n=1时,2^2=2/3*1*2*3,符合题述公式
2、下面证明,当f(n)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2=2/3*n(n+1)(2n+1)时
f(n+1)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2+[2(n+1)]^2=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
f(n+1)=f(n)+[2(n+1)]^2
=2/3*n(n+1)(2n+1)+[2(n+1)]^2
=[2n(n+1)(2n+1)+12(n+1)(n+1)]/3
=[4n^2+2n+12n+12](n+1)/3
=[4n^2+14n+12](n+1)/3
=2[2n^2+7n+6](n+1)/3
=2(2n+3)(n+2)(n+1)/3
=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
综上所述,当f(n)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2=2/3*n(n+1)(2n+1)时
f(n+1)=2^2+4^2+6^2+...+[2n]^2+[2(n+1)]^2=2/3*(n+1)(n+2)(2n+3)
又因为当n=1时,2^2=2/3*1*2*3,符合题述公式
所以题述公式成立

利用数学归纳法证明：2+4+6+…+2n=n²+n 要照片, 用数学归纳法证明1+4+9+...+n²=1/6n（n+1）（2n+1）用数学归纳法证明1+4+9+……+n^2 =(1/6)n(n+1)(2n+1) 用数学归纳法证明2²;+4²;+6²;+……+（2n)²=1/4n(n+1)(2 用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)＝n(n+1)(n+2)(n+3)4(n∈N 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)＝(n+3)(n+4)2(n∈N 用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=n(3n+1)2 用数学归纳法证明：1*n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)*2+n*1=(1/6)n(n+1)(n+2) 用数学归纳法证明1+2+3+...+（2n-1）=n² 用数学归纳法证明：12×4+14×6+16×8+…+12n(2n+2)=n4(n+1)（其中n∈N*）．用数学归纳法证明 1/1*2+1/3*4+…+1/(2n-1)*2n=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n) 用数学归纳法证明1+4+9+...+n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)