数列的极限证明中,ε必须小于1吗?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 13:13:43

数列的极限证明中,ε必须小于1吗?
比如证明中出现这么一个式子：
nN,所以要取N＝－lnε
这时候,如果ε小于1,那么lnε就是负的,所以－lnε就是正的,N就符合定义中的“正整数”的范围.
但如果ε＝10呢?lnε就等于1了,那么N＝-1,不就不符合定义了吗?
我看到例题中这么说：取ε>0（设ε
这个证明题是这样的：求证：当n趋近于无穷大时，0.9999……99（n个9）的极限是1
我证明时是这么想的：0.99999……（n个）＝【1-10的（-n）次方】，|【1-10的（-n）次方】-1|N，就要取N＝-lnε，所以，根据数列极限的定义来说，为了N为正整数，则（-lnε）就要是正整数。那lnε就得为负数，那么ε就得是小于1的正数。但ε是随意给定的，如果是ε＝10，则-lnε＝-ln10＝-1，那么N就是负数了，跟定义矛盾了，所以就不能证明极限是1了！
这么说，谁能帮我讲一下，这里的ε怎么设，有必要设ε

求证lim 0.9999……=1
首先,通项公式是Xn=1-10^-n
根据定义
对任意ε>0,为使|Xn-1|0,都存在着N=max{[-lnε],0},使当n>N时,有
|Xn-1|

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