作业帮黄金分割率和斐波那契的联系
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 08:55:31
黄金分割率和斐波那契的联系
如何证明斐波那契数列的前一位数除以后一位数无限接近于黄金分割率?
要求证明过程
“单调且有界的序列收敛”是什么？
如何证明斐波那契数列的前一位数除以后一位数无限接近于黄金分割率?
要求证明过程
“单调且有界的序列收敛”是什么？
若求出它的通式则可直接证明,不过求法太复杂,当时我也是花了很长那个时间,
有简便方法
设Xn=Fn+1/Fn=(Fn+Fn-1)/Fn=1+ Fn-1/Fn=1+1/Xn-1;
即有Xn=1+1/Xn-1；
求极限,x=1+1/x;
解得x=（1+sqr（5））/2
而Fn/Fn+1=1/x=（sqr（5）-1）/2
回答补充：凭什么说n趋近于无穷大时Xn=Xn-1?
这还是比较难的,你可以证明【Xn-（1+sqr（5））/2】是单调递减的,又【Xn-（1+sqr（5））/2】是有界的,根据“单调且有界的序列收敛”可知【Xn-（1+sqr（5））/2】有极限,即Xn有极限,所以limXn=limXn-1
若已经说明n趋近于无穷大时Xn=Xn-1,则X=1+1/X,解方程即可解的
（这些都是大学里的数学分析里的,到时学了就知道了,其实你问的这道题刚好是我们的一次作业,哈哈）
改正：应该是|【Xn-（1+sqr（5））/2】|是单调递减的,所以|【Xn-（1+sqr（5））/2】|
有简便方法
设Xn=Fn+1/Fn=(Fn+Fn-1)/Fn=1+ Fn-1/Fn=1+1/Xn-1;
即有Xn=1+1/Xn-1；
求极限,x=1+1/x;
解得x=（1+sqr（5））/2
而Fn/Fn+1=1/x=（sqr（5）-1）/2
回答补充：凭什么说n趋近于无穷大时Xn=Xn-1?
这还是比较难的,你可以证明【Xn-（1+sqr（5））/2】是单调递减的,又【Xn-（1+sqr（5））/2】是有界的,根据“单调且有界的序列收敛”可知【Xn-（1+sqr（5））/2】有极限,即Xn有极限,所以limXn=limXn-1
若已经说明n趋近于无穷大时Xn=Xn-1,则X=1+1/X,解方程即可解的
（这些都是大学里的数学分析里的,到时学了就知道了,其实你问的这道题刚好是我们的一次作业,哈哈）
改正：应该是|【Xn-（1+sqr（5））/2】|是单调递减的,所以|【Xn-（1+sqr（5））/2】|