如何证可逆实矩阵可分解为一个正交矩阵与一个正定矩阵的乘积

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 12:32:55

这东西叫极分解.
需要先证一个引理：任何一个实方阵A,都存在正交方阵P,Q使得PAQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正实数
有这个引理.题中所给的是可逆矩阵,设这个可逆矩阵叫做B,那么由于P,Q都是正交矩阵,是可逆的,所以PBQ逆的.
由引理,应该存在正交方阵P,Q使得PBQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正实数.但是PBQ是可逆的,所以PBQ=diag(a1,a2,...an)
得到B=P'diag(a1,...an)Q'（其中的'表示转置）
P'是正交矩阵,而diag(a1,...an)Q'是正定矩阵.证毕
再问： diag(a1,...an)Q'是正交矩阵能写一下具体的的证明过程吗还有这样P或Q可能为复数矩阵这个有影响吗
再答：不好意思，我写错了。。。。是B=P'diag(a1,...an)Q'=P'diag(a1,...an)PP'Q'。这个P'diag(a1,...an)P是正定的，而后面的P'Q'是两个正交阵相乘，还是正交阵

如何证可逆实矩阵可分解为一个正交矩阵与一个正定矩阵的乘积一个复矩阵A可逆,证其可分解为一个酋矩阵与上三角矩阵的乘积,并且该分解唯一设A为一个n阶可逆矩阵,证明A可分解成一个正交矩阵Q与一个主对角线元素为正数的上三角矩阵T的乘积. 证明：任意非奇异实矩阵均可表示为一个正交矩阵和一个正定阵的乘积任一可逆矩阵可分解为一正交阵和上三角阵的乘积正交矩阵与正定矩阵的关系实对称矩阵是可逆矩阵?正交矩阵是可逆矩阵?正定矩阵是可逆矩阵?谢谢! 证明如果一个正交矩阵是正定矩阵,那么它必为单位矩阵设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得一个矩阵的相似矩阵正定,这个矩阵正定么? 证明任意方阵都可以表为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积. 证明：任意一个可逆实矩阵A 可以分解为QT ,其中Q为正交矩阵 T为上三角矩阵