如图,△ABC是等边三角形,P为三角形内任意一点,边长为1.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 15:06:43

如图,△ABC是等边三角形,P为三角形内任意一点,边长为1.
⑴求证PA+PB+PC＞1.5
⑵当P在哪里时,PA+PB+PC的值最大?哪里最小?
尽量别用三角函数,我没学呢
图在这呢
为什么只有当P为△ABC中点时，∠BPC才为120°？
为什么PA+PB+PB最小时，CA1恰好垂直于AB？

（1）证明:在三角形PAB中,PA+PB>AB,
同理,PB+PC>BC,
PA+PC>AC
将三个不等式左右分别相加,得2（PA+PB+PC）>AB+BC+AC
因为AB=BC=AC=1 所以2（PA+PB+PC）>3
即：PA+PB+PC>1.5
(2)当P为三角形ABC中心时最小,P为顶点时最大
证明：将三角形PBA绕点B逆时针旋转60度,得三角形P1A1B,旋转后P1A1=PA,P1B=PB
∵∠P1BP=60°且BP1=BP,所以△P1BP为等边三角形
∴PB=P1B=PP1
∴PA+PB+PC=P1A+P1P+PC
若要使PA+PB+PC最短,则需P1A+P1P+PC最短
又∵两点之间线段最短,若要使P1A+P1P+PC最短,则需使A1、P1、P、C在同一线段上
∵∠BP1B=∠BPP1=60°,若要使四点共线,则需∠BP1A1=∠BPC=120°
只有当点P位于△ABC中心时,∠BPC才为120°
因此,当P为△ABC中心时PA+PB+PC最小
我们发现,当PA+PB+PC最小时,CA1恰好为垂直平分边AB,
过点A1做A1C的垂线,延长CA与A1C的垂线交于A2
在△A1A2C中,CA1最短（因为是垂线）=根号3,CA2最长=2
而当P在顶点上时PA+PB+PC=1+1+0=2,此时最长
几何很有意思的,好好学哦~加油~!
再问：好，但是我发现几个问题第一，看我这图，按照你第二问所说的只有当点P位于△ABC中心时，∠BPC才为120° 那么∠BP1A1=120°，对吧，那么∠BPA=120°。 △BPA和△BPC中，由三角形内角和180°，∠ABP+∠CBP+∠PAB+∠PCB=180°×2-120°×2=120° ∠ABC=60°，则∠PAB+∠PCB=60°。是不是说，只要点P的位置满足∠PAB+∠PCB=60°时，PA+PB+PC的值就最小呢第二，帮我证一下PA+PB+PC最短的时候，为什么CA1恰好垂直平分AB好吗？

如图,△ABC是等边三角形,P为三角形内任意一点,边长为1. 如图,三角形ABC是边长为a的等边三角形,P是三角形ABC内的任意一点,过点P作EF‖AB交AC、BC于点E、F,作GH 如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内任意一点，PE∥AB，PF∥AC．那么，△PEF是什么三角形？说明理由．如图：三角形ABC为等边三角形,边长为2.1：在平面内找一点P,使得三角形PAB、三角形PBC、三角形PAC均为等腰三角如图,等边三角形ABC的边长为a,P是三角形ABC内的一点,PE∥BC,PF∥AC,PD∥AB, 已知等边三角形的边长为6,p是三角形ABC内任意一点,PD//AB,PE//BC,PF//AC.求证PD+PE+PF值不如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD 如图,在等边三角形ABC中,P为三角形ABC内任意一点,PD⊥BC于点D,PE⊥AC 如图,△ABC是边长为4CM的三角形,P是△ABC内的任意一点,过点P作EF‖AB分别交AC,BC于点E,F,作GH‖B 如图,△ABC是等边三角形,P是三角形内一点,PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为12,则PD+ 如图,三角形abc是边长为3的等边三角形. 如图,等边三角形ABC的边长为a,P为△ABC内一点,且PD‖AB,PE‖BC,PF‖AC,