设函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),f(x)={f(x)x>0 -f(x)x0,且
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 18:41:25
设函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),f(x)={f(x)x>0 -f(x)x0,且f(x)为偶函数,证明f(m)+f(n)>0.
(Ⅰ)因为f(x)=ax2+bx+c,所以f'(x)=2ax+b.
又曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,故f'(-1)=0,
即-2a+b=0,因此b=2a.①
因为f(-1)=0,所以b=a+c.②
又因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),
所以c=2a+3.③
解由①,②,③组成的方程组,得a=-3,b=-6,c=-3.
从而f(x)=-3x2-6x-3.
所以F(x)= -3(x+1)2 x>0 3(x+1)2 x<0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-3x2-6x-3,
所以g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3.
由g(x)在[-1,1]上是单调函数知:-k+6 6 ≤-1或-k+6 6 ≥1,
得k≤-12或k≥0
(Ⅲ)因为f(x)是偶函数,可知b=0.
因此.
又因为mn<0,m+n>0,
可知m,n异号.
若m>0,则n<0.
则F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c=a(m+n)(m-n)>0.
若m<0,则n>0.
同理可得F(m)+F(n)>0.
综上可知F(m)+F(n)>0.
又曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,故f'(-1)=0,
即-2a+b=0,因此b=2a.①
因为f(-1)=0,所以b=a+c.②
又因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),
所以c=2a+3.③
解由①,②,③组成的方程组,得a=-3,b=-6,c=-3.
从而f(x)=-3x2-6x-3.
所以F(x)= -3(x+1)2 x>0 3(x+1)2 x<0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-3x2-6x-3,
所以g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3.
由g(x)在[-1,1]上是单调函数知:-k+6 6 ≤-1或-k+6 6 ≥1,
得k≤-12或k≥0
(Ⅲ)因为f(x)是偶函数,可知b=0.
因此.
又因为mn<0,m+n>0,
可知m,n异号.
若m>0,则n<0.
则F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c=a(m+n)(m-n)>0.
若m<0,则n>0.
同理可得F(m)+F(n)>0.
综上可知F(m)+F(n)>0.
设函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为实数,且a≠0),f(x)={f(x)x>0 -f(x)x0,且
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已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)=f(x),x>0或-f(x),x0,且f(x)
已知函数f(x)=ax∧2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)={f(x)(x>0)/-f(x)(x0且f(x)
已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)=f(x) x>0或-f(x) x0,且f(x)
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x^2
设函数f(x)=ax²+bx+c,且f(1)=-a/2
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已知二次函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R)满足:f(1)=1,f(-1)=0,且对任意实数x恒有f(x)≥x
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x),(x>0)或-f(x),(x0)或-f(
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