设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:∫b a f(x)dx*∫b a 1/f(x)dx≥(b-a)^2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/11 17:45:33
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:∫b a f(x)dx*∫b a 1/f(x)dx≥(b-a)^2
令f(x)=(∫b a f(t)dt ) x^2 -(2∫b a 1dt)x +(∫b a 1/f(t)dt),则:
f(x)=∫b a f(t) x^2 dt -2∫b a xdt +∫b a 1/f(t)dt
=∫b a [f(t) x^2 -2x +1/f(t)]dt=∫b a {[f(t)^0.5 x -1/f(t)^0.5]^2}dt ≥0
故这个关于x的二次函数f(x)的判别式应小于等于0,即:
△=(2∫b a 1dt)^2 -4(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)=4(b-a)^2 -4(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)≤0
即:(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)≥(b-a)^2
把t换成x即为要证明的结论
注:实际上这就是积分形式的柯西不等式.
f(x)=∫b a f(t) x^2 dt -2∫b a xdt +∫b a 1/f(t)dt
=∫b a [f(t) x^2 -2x +1/f(t)]dt=∫b a {[f(t)^0.5 x -1/f(t)^0.5]^2}dt ≥0
故这个关于x的二次函数f(x)的判别式应小于等于0,即:
△=(2∫b a 1dt)^2 -4(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)=4(b-a)^2 -4(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)≤0
即:(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)≥(b-a)^2
把t换成x即为要证明的结论
注:实际上这就是积分形式的柯西不等式.
设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx|
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:∫b a f(x)dx*∫b a 1/f(x)dx≥(b-a)^2
设f(x) 在[a,b] 上连续,且f(x)>0.求证:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^
设f(x)在区间 [a,b]上连续,证明1/(b-a)∫f(x)dx≤(1/(b-a)∫f²(x)dx)^
设f(x)在[a,b]上连续,且f(b)=a,f(a)=b,证明∫(上b下a)f(x)f'(x)dx=1/2(a
设f(x)在[a,b]连续且f′(x)>0,证明∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx
设f(x)在区间[a,b]上连续,证明∫上限a,下限b.f(x)dx=∫上限a,下限bf(a+b-x)dx.
设f(x)在[a,b]上连续,且严格单增,证明:(a+b)∫(上b下a)f(x)dx
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,证明:∫f(x)dx=f(a+b-x)dx
设函数f(x)在[a,b]上连续,证明:∫(a→b)f(x)dx=(b-a)∫(0→1)f[a+(b-a)x]dx
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=∫f(x)dx.(左
设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数,且f"(x)>0,证明∫(a,b)f(x)dx>f(