作业帮2008年广州中考数学试题第24题的（2）问,不要只给答案,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 20:52:39
2008年广州中考数学试题第24题的（2）问,不要只给答案,
24、（2008广州）（14分）如图10,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是 上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连结DE,点G、H在线段DE上,且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形
（2）当点C在 上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度
24、（2008广州）（14分）如图10,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是 上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连结DE,点G、H在线段DE上,且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形
（2）当点C在 上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度
第一问分析：求证四边形OGCH是平行四边形,
就是要证明它 对边平行
或证明它 对边相等
或证明它有一组 对边平行且相等
或证明它对角线互相平分
就本题而言,前三种方案均需要通过 全等 来证明,较麻烦.
第四种方案“证明它对角线互相平分” 较为简洁.解释如下：
先由CD⊥OA、CE⊥OB、圆心角∠AOB=90° 您可知,
四边形OECD 当中 有三个角是直角,故 四边形OECD是矩形.
而矩形作为一种特殊的平行四边形,它当然具有平行四边形“对角线互相平分”的性质.
∴ 连OC, 设OC与DE交于M,则有：MO=MC 且 ME=MD
∵HE=GD
∴ME--HE = MD--GD
即：MH = MG 结合 MO=MC 知四边形OGCH对角线互相平分,故它是平行四边形.
以下重点解释第二问!
第二问的结论是：DG长度不变.
理由是：矩形OECD的对角线相等,ED = 半径OC = 3,
∴DG = (1/3)×ED = 1, DG长度不变.
① CD为什么长度改变?
因为 随着点C在弧AB移动,点C到OA的距离CD 是不断变化的.
② CG为什么长度改变? （这一问是本题的重点所在）
设 CD = x ,则 CE = √（9--x2） （ 即 CE =（9--x2） 的算术平方根 ）
过C 作 CN ⊥ ED 于 N,
由 S△ECD = （1/2）× CD× CE = （1/2）× ED× CN 得：
CD× CE = ED× CN
∴ CN = （CD× CE）/ ED
= [ x √（9--x2）] / 3
∴ CN2 = [ x2 （9--x2）] / 9
∴ DN2 = CD2 -- CN2
= x2 -- [ x2 （9--x2）] / 9
= 9 分之x的四次方
∴ DN = x2/3
∴ GN = DN -- DG
= x2/3 -- 1
∴ CG2 = GN2 + CN2
= （x2/3 -- 1）2 + [ x2 （9--x2）] / 9
= （3x2 + 9）/ 9
以上是CG与x的关系式,由于x是变量,故CG长度改变.
注：现在网页上 有关本题的答案当中,
均出现 “ 由 DE × CG = CD × EC 得 CG = [ x √（9--x2）] / 3 “ 的解释,实在令人费解.同学们由此误以为 CG ⊥ DE .
希望通过我的解答,提问者能彻底掌握该题.
就是要证明它 对边平行
或证明它 对边相等
或证明它有一组 对边平行且相等
或证明它对角线互相平分
就本题而言,前三种方案均需要通过 全等 来证明,较麻烦.
第四种方案“证明它对角线互相平分” 较为简洁.解释如下：
先由CD⊥OA、CE⊥OB、圆心角∠AOB=90° 您可知,
四边形OECD 当中 有三个角是直角,故 四边形OECD是矩形.
而矩形作为一种特殊的平行四边形,它当然具有平行四边形“对角线互相平分”的性质.
∴ 连OC, 设OC与DE交于M,则有：MO=MC 且 ME=MD
∵HE=GD
∴ME--HE = MD--GD
即：MH = MG 结合 MO=MC 知四边形OGCH对角线互相平分,故它是平行四边形.
以下重点解释第二问!
第二问的结论是：DG长度不变.
理由是：矩形OECD的对角线相等,ED = 半径OC = 3,
∴DG = (1/3)×ED = 1, DG长度不变.
① CD为什么长度改变?
因为 随着点C在弧AB移动,点C到OA的距离CD 是不断变化的.
② CG为什么长度改变? （这一问是本题的重点所在）
设 CD = x ,则 CE = √（9--x2） （ 即 CE =（9--x2） 的算术平方根 ）
过C 作 CN ⊥ ED 于 N,
由 S△ECD = （1/2）× CD× CE = （1/2）× ED× CN 得：
CD× CE = ED× CN
∴ CN = （CD× CE）/ ED
= [ x √（9--x2）] / 3
∴ CN2 = [ x2 （9--x2）] / 9
∴ DN2 = CD2 -- CN2
= x2 -- [ x2 （9--x2）] / 9
= 9 分之x的四次方
∴ DN = x2/3
∴ GN = DN -- DG
= x2/3 -- 1
∴ CG2 = GN2 + CN2
= （x2/3 -- 1）2 + [ x2 （9--x2）] / 9
= （3x2 + 9）/ 9
以上是CG与x的关系式,由于x是变量,故CG长度改变.
注：现在网页上 有关本题的答案当中,
均出现 “ 由 DE × CG = CD × EC 得 CG = [ x √（9--x2）] / 3 “ 的解释,实在令人费解.同学们由此误以为 CG ⊥ DE .
希望通过我的解答,提问者能彻底掌握该题.
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