复合闭路定理问题图中红色圈内为什么为零?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 15:58:57

复合闭路定理问题

图中红色圈内为什么为零?

对于被积函数1/(z-1)来说,唯一不解析点z=1位于其积分闭曲线C1的外部,也就是说在C1内部被积函数1/(z-1)解析,根据柯西古萨基本定理,即解析函数沿闭曲线的积分等于0,可知这个积分=0.
再问：可C1并不是单连通区域，柯西古萨基定理不能用吧
再答： C1怎么不是单连通区域呢？一个区域是不是单连通的，与函数在这区域内有没有奇点没有关系，事实上一个区域是点集方面的概念，和函数概念没有任何关系。
再问：可单连通区域中任何一条简单闭曲线，曲线的内部总属于该区域，才能称为单连通域，而且，如果按照你的说法，这个题中的点（0，0）、（1，0）也是只是该区域的奇点，那这个区域也就成了单连通区域。

对不起啊，没能及时回复，抱歉了
再答：如果只考虑那个曲线围成的区域，它确实就是单连通的，但是在这个单连通区域内部存在着被积函数的奇点，这使得积分不容易计算，为了计算积分，而人为地在这区域内部做两个圆周，这样挖去一部分后，剩下的就变成了多连通域。
再问：还是不太理解，如果按这种说法，直接就可以用柯西，古萨基定理了
再答：不行，柯西古萨基本定理的要求不是单连通，而是没有奇点。这么说吧，|z|=1的内部是一个单连域，但是计算积分∮dz/z不能用柯西古萨基本定理，因为|z|=1内部包含着被积函数1/z的奇点z=0。
再问：我好像懂了，那两个点是属于区域的，但却是奇点，所以不能用定理，而圈出来的那一小块对被积的函数确是没有奇点的，所以可以用
再问：是这样吗？
再答：没错！

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