若函数f（x)在[0,1]上可导,且f(0）=0,f(1)=1.证明：在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 06:07:40

若函数f（x)在[0,1]上可导,且f(0）=0,f(1)=1.证明：在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.
使[f'(x1)]+{f'(x2)]=2
上面的是错的，是使[1/f'(x1)]+{1/f'(x2)]=2

∵函数f（x)在[0,1]上可导∴函数f（x)在[0,1]上必连续
即函数f（x)在[0,1]上存在最大值及最小值
由f(0）=0,f(1)=1,不妨设最大值为f(1)=1,最小值为f(0）=0
则由介值定理知存在实数a∈[0,1],使得f(a)=1/2(由于1/2在[0,1]之间)
由题意可知f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)上可导及f(x)在[a,1]上连续,在(a,1)上可导
由拉格朗日中值定理得
存在x1∈[0,a],x2∈[a,1],使得f'(x1)=[f(a)-f(0)]/(a-0)=1/2a
f'(x2)=[f(1)-f(a)]/(1-a)=1/2(1-a)
两式取倒数和得
[1/f'(x1)]+[1/f'(x2)]=2a+2(1-a)=2
即在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.使[1/f'(x1)]+[1/f'(x2)]=2
至于[f'(x1)]+[f'(x2)]=2也是成立的
∵f（x)在[0,1/2]上连续,在在(0,1/2)上可导及f（x)在[1/2,1]上连续及f（x)在(1/2,1)上可导
∴由拉格朗日中值定理得
存在x1∈[0,1/2],x2∈[1/2,1],使得f'(x1)=[f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)=2f(1/2)
f'(x2)=[f(1)-f(1/2)]/(1-1/2)=2[1-f(1/2)]
两式相加得[f'(x1)]+{f'(x2)]=2[f(1/2)+1-f(1/2)]=2
即在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2,使得[f'(x1)]+{f'(x2)]=2

若函数f（x)在[0,1]上可导,且f(0）=0,f(1)=1.证明：在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2. 定义在区间（0,正无穷大）上的函数f(x)满足 f(x1/x2)=f(x1)-f(x2) ,且当 x>1 时,f(x) 已知定义在（0,正无穷大）上的函数f(x)满足f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)且x>1,f(x) 关于函数连续证明fx在〔0,2]连续且f(2)=f(0),证明存在x2-x1=1使得f(x1)=f(x2). 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1/x2)=f(x1)-f(x2),且当x>1时f(x) 若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f f(x)=x^2-x+c定义在区间[0,1]上,x1、x2均属于[0.1],且x1不等于x2.证明|f(x2)-f(x1 若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f( 若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x〉0时,f （1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且证明函数f（x）=x+1/x在区间（0,1]上是减函数用f(x2)-f(x1) 若函数f(x)=x2+ax+b有两个不同的零点x1,x2,且1〈x1〈x2〈3证：在f(1),f(3)两个函数值中至少有