作业帮求一道线性代数特征值部分题目.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 07:13:31
求一道线性代数特征值部分题目.
3阶矩阵A第一行：1,-2,2 第二行：-2,a,4 第三行：2,4,-2
他的伴随矩阵A*的特征值为4,-14,-14.
|A*|=4*（-14）*（-14）=28的平方,根据行列式A和A*的关系,那么|A|=±28,
那么根据A的特征值和它伴随矩阵的关系,则A的特征值=|A| / A*的特征值
求的两组：①28时,A的特征值为7,-2,-2
② -28时,A的特征值为-7,2 ,2
那么根据轨迹相等应该有特征值之和等于正对角线元素之和,
第一组：1+a+（-2）=7-2-2 得到a=4
第二组：1+a+（-2）=-7+2+2 得到a=-2
看起来都没有问题,现在硬算A的行列式|A|展开=-6a-40=±28,这样算出来得a=-2或者a=-（34/3）,与前面矛盾.这个是为什么,想了n久都没有办法.这个是2012年数二李永乐书的P330的例5.35,求高手想下为什么啊,还是哪有问题.
3阶矩阵A第一行：1,-2,2 第二行：-2,a,4 第三行：2,4,-2
他的伴随矩阵A*的特征值为4,-14,-14.
|A*|=4*（-14）*（-14）=28的平方,根据行列式A和A*的关系,那么|A|=±28,
那么根据A的特征值和它伴随矩阵的关系,则A的特征值=|A| / A*的特征值
求的两组：①28时,A的特征值为7,-2,-2
② -28时,A的特征值为-7,2 ,2
那么根据轨迹相等应该有特征值之和等于正对角线元素之和,
第一组：1+a+（-2）=7-2-2 得到a=4
第二组：1+a+（-2）=-7+2+2 得到a=-2
看起来都没有问题,现在硬算A的行列式|A|展开=-6a-40=±28,这样算出来得a=-2或者a=-（34/3）,与前面矛盾.这个是为什么,想了n久都没有办法.这个是2012年数二李永乐书的P330的例5.35,求高手想下为什么啊,还是哪有问题.
问题出在a=4,当a=4的时候,特征值不是28,而是-64.你可以把4代入原矩阵检验下.
我知道你的问题是,两次算得的结果为什么不一致.
关键是a=4这种情况是不成立的,因为,特征值的符号和主元的符号要一致!
你把a=4情况下的矩阵,通过消元试试看.它的主元是1,8,8,其中行交换一次,行列式为负.
因而,不能取det(A)=28的情况.
再问： 看了你的解答是有点似懂非懂了，不过没在哪里看见特征值和主元有这个关系对应，再说了解答特征值的步骤不是求特征方程式，木有去划A这个步骤啊，对于那个题目我还是感觉悬起的。 万一我是直接用公式解出两组特征值，不去管行列式A的展开，那就完全找不出该如何排除了 求指导啊
再答： 你这个矩阵是 对称矩阵 。对称矩阵的主元符号和特征值符号是相等的，这是一个性质。我看的是MIT的线性代数，教授讲对称矩阵特征值的符号问题的时候，指出用特征方程去计算一个50阶的矩阵的特征值是很困难的，但是Matlab会很乐意找出这50个主元。而很棒的事实就是，主元的符号和特征值相同。可以说这是一个事实，可以接受。教授并没有给出证明，估计证明会很长。 当你做题的时候，判断特征值是不是求对了，就通过下面几个方法： 1.特征值之积=行列式=主元之积； 2.特征值之和=迹（trace，对角线元素之和）； 3.如果矩阵是对称矩阵，那么他的 主元符号=特征值符号。 If A is a symmetric matrix ,signs of pivots are the same as signs of eigenvalues.
我知道你的问题是,两次算得的结果为什么不一致.
关键是a=4这种情况是不成立的,因为,特征值的符号和主元的符号要一致!
你把a=4情况下的矩阵,通过消元试试看.它的主元是1,8,8,其中行交换一次,行列式为负.
因而,不能取det(A)=28的情况.
再问： 看了你的解答是有点似懂非懂了，不过没在哪里看见特征值和主元有这个关系对应，再说了解答特征值的步骤不是求特征方程式，木有去划A这个步骤啊，对于那个题目我还是感觉悬起的。 万一我是直接用公式解出两组特征值，不去管行列式A的展开，那就完全找不出该如何排除了 求指导啊
再答： 你这个矩阵是 对称矩阵 。对称矩阵的主元符号和特征值符号是相等的，这是一个性质。我看的是MIT的线性代数，教授讲对称矩阵特征值的符号问题的时候，指出用特征方程去计算一个50阶的矩阵的特征值是很困难的，但是Matlab会很乐意找出这50个主元。而很棒的事实就是，主元的符号和特征值相同。可以说这是一个事实，可以接受。教授并没有给出证明，估计证明会很长。 当你做题的时候，判断特征值是不是求对了，就通过下面几个方法： 1.特征值之积=行列式=主元之积； 2.特征值之和=迹（trace，对角线元素之和）； 3.如果矩阵是对称矩阵，那么他的 主元符号=特征值符号。 If A is a symmetric matrix ,signs of pivots are the same as signs of eigenvalues.