作业帮关于微分中值定理与导数的应用
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 11:16:08
关于微分中值定理与导数的应用
设f(x)在[1,2]上有二阶导数,且f(2)=0,又F(x)=(x-1)^2 *f(x),证明：在区间(1,2)内至少存在一点§,使得F"(§)=0
设f(x)在[1,2]上有二阶导数,且f(2)=0,又F(x)=(x-1)^2 *f(x),证明：在区间(1,2)内至少存在一点§,使得F"(§)=0
由题设,f(x)在[1,2]上有2阶导数
考察函数F(x)=(x-1)²f(x)
显然F(x)在[1,2]上连续,在(1,2)可导且
F(1)=(1-1)²f(1)=(2-1)²·0=(2-1)²f(2)=f(2)
所以存在η∈(1,2)使得F'(η)=0
现在考察区间[1,η]包含于[1,2)
容易证明F'(x)在(1,η)可导,在[1,η]连续
∵F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f'(x)
∴ F'(1)=0·f(1)+0·f'(1)=0=F'(η)
故存在ξ∈(1,η)使得F'(ξ)=0
但是（1,η）包含于（1,2)
所以ξ∈(1,2)
证毕
考察函数F(x)=(x-1)²f(x)
显然F(x)在[1,2]上连续,在(1,2)可导且
F(1)=(1-1)²f(1)=(2-1)²·0=(2-1)²f(2)=f(2)
所以存在η∈(1,2)使得F'(η)=0
现在考察区间[1,η]包含于[1,2)
容易证明F'(x)在(1,η)可导,在[1,η]连续
∵F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f'(x)
∴ F'(1)=0·f(1)+0·f'(1)=0=F'(η)
故存在ξ∈(1,η)使得F'(ξ)=0
但是（1,η）包含于（1,2)
所以ξ∈(1,2)
证毕