在平面直角坐标系中,己知O为坐标原点,点A（3,0）,B（0.4）,以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得△ACD．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 18:15:55

在平面直角坐标系中,己知O为坐标原点,点A（3,0）,B（0.4）,以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．
（I ）如图①,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标；
（II）如图②,当旋转后满足BC∥x轴时,求α与β之间的数量关系：
（III）当旋转后满足∠AOD=β时,求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．

（1）∵点A（3,0）,B（0,4）,得OA=3,OB=4,
∴在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=√（OA^2+OB^2）=5,
根据题意,有DA=OA=3．
如图①,过点D作DM⊥x轴于点M,
则MD∥OB,
∴△ADM∽△ABO．有 AD/AB=AM/AO=DM/BO,
得 AM=AD/AB•AO=3/5×3=9/5,
∴OM= 6/5,
∴ MD=12/5,
∴点D的坐标为（ 6/5,12/5）．
（2）如图②,由已知,得∠CAB=α,AC=AB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴在△ABC中,
∴α=180°-2∠ABC,
∵BC∥x轴,得∠OBC=90°,
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β,
∴α=2β；
（3）若顺时针旋转,如图,过点D作DE⊥OA于E,过点C作CF⊥OA于F,
∵∠AOD=∠ABO=β,
∴tan∠AOD=DE/OE=tan∠ABO= 3/4,
设DE=3x,OE=4x,
则AE=3-4x,
在Rt△ADE中,AD^2=AE^2+DE^2,
∴9=9x^2+（3-4x）^2,
∴x= 24/25,
∴D（ 96/25,72/25）,
∴直线AD的解析式为：y= 24/7x- 72/7,
∵直线CD与直线AD垂直,且过点D,
∴设y=- 7/24x+b,
则b=4,
∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4,
若逆时针旋转,则可得直线CD的解析式为y= 7/24x-4．
∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4或y= 7/24x-4