作业帮 > 数学 > 作业

高次复数方程1.为什么 方程i^3=1的解是1,（√3i-1）/2 和（-√3i-1）/2.2.解复数方程（i+1）^n

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 19:51:05
高次复数方程
1.为什么 方程i^3=1的解是1,（√3i-1）/2 和（-√3i-1）/2.
2.解复数方程（i+1）^n+i^n=0（n是正整数）,并证明是每个根的实数部分都是-1/2.
自学中,求高手赐教,
1) 是指x^3=1的三个解吧?可以直接用公式解得：
因为1=cos0+isin0=e^i0
它的3次方根为e^i(2kπ)/3,k=0,1,2
即为1,（√3i-1）/2 和（-√3i-1）/2.
也可以直接用因式分x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
得：x-1=0,或x^2+x+1=0
同样得x=1,（√3i-1）/2 和（-√3i-1）/2.
2) (x+1)^n+x^n=0
化为：(x+1)^n=-x^n
(1+1/x)^n=-1
(1+1/x)^n=e^iπ
开n次方,得：1+1/x=e^i(2k+1)π/n,k=0,1,..n-1
得：x=1/[1-e^i(2k+1)π/n],k=0,1,..,n-1.
=1/[1-cos(2k+1)π/n-isin(2k+1)π/n]
=[1-cos(2k+1)π/n+isin(2k+1)π/n]/[(1-cos(2k+1)π/n)^2+(sin(2k+1)π/n)^2]
=[1-cos(2k+1)π/n+isin(2k+1)π/n]/[2-2cos(2k+1)π/n ]
=1/2+isin(2k+1)π/n/[2-2cos(2k+1)π/n]
因此每个根的实部都为1/2
再问： 这步1+1/x=e^i(2k+1)π/n，怎么突然去到x=1/[1-e^i(2k+1)π/n，不是很明白
再答： 哦，我漏了个负号，所以最后结果都加个负号： 1+1/x=e^i(2k+1)π/n， 1/x=-1+e^i(2k+1)π/n x=-1/[1-e^i(2k+1)π/n 因此实部都为-1/2
再问： (1+1/x)^n=e^iπ咁呢步又系运用左咩定理呢，我未学过
高次复数方程1.为什么 方程i^3=1的解是1,（√3i-1）/2 和（-√3i-1）/2.2.解复数方程（i+1）^n 解复数方程 |z-2|-z=1+3i 解复数方程：|z|+z=1+3i 解复数方程|z|-z=1+2i 复数Z满足方程(Z+i)i=3-1 其中i为虚数单位 复数z满足方程1-i/z+2i=i,则复数z等于 复数的证明题在复数范围内,方程/z/^2+[1-i]z- -[1+i]z=[5-5i]/[2+i][i为虚数单位】无解 怎么解复数方程?Z^2-3iZ-(3-i)=0书上写的答案是Z=1+i ,-1+2i 证明:在复数范围内,方程|z|2+(1-i)z（拔）-(1-i)z=(5-5i)/(2+i)(i为虚数单位)无解 证明：在复数范围内,方程z^2+（1+i)z-(1+i)z=（5-5i)/(2+i)（i为虚数单位）无解 在复数集内解方程 (1+i)x=3-2i 已知方程x^3一(1一i)x^2十(1一i)x十i=0有一个根是-i,求这个方程在复数集中的解集.